Rysunek pomocniczy:

Oznaczmy:

$\left|AD\right|=x,\left|DB\right|=18-x$  

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\beta$  

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\gamma$  

 

Korzystając z tw. o dwusiecznej trójkąta mamy:

$\frac{15}{x}=\frac{12}{18-x}$  

$15\left(18-x\right)=12x\mid :3$  

$5\left(18-x\right)=4x$  

$90-5x=4x$  

$90=9x$  

$10=x$  

Zatem:

$\left|AD\right|=10,\left|DB\right|=8$  

 

Korzystając z tw. cosinusów dla trójkąta ABC mamy:

${12}^2={18}^2+{15}^2-2\cdot 18\cdot 15\cdot \cos \beta$  

$144=324+225-540\cos \beta$  

$-405=-540\cos \beta$  

$\frac{81}{108}=\cos \beta$  

$\frac{3}{4}=\cos \beta$  

Z jedynki trygonometrycznej mamy:

${\sin }^2\beta +{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\beta +\frac{9}{16}=1$  

${\sin }^2\beta =\frac{7}{16}$  

$\sin \beta =\frac{\sqrt{7}}{4}$  

 

Korzystając z tw. cosinusów dla trójkąta ADC mamy:

${\left|CD\right|}^2={15}^2+{10}^2-2\cdot 15\cdot 10\cdot \cos \beta$  

${\left|CD\right|}^2=225+100-300\cdot \frac{3}{4}$  

${\left|CD\right|}^2=325-225$  

${\left|CD\right|}^2=100$  

$\left|CD\right|=10$  

 

Z tw. sinusów dla trójkąta ABD mamy:

$\frac{\left|CD\right|}{\sin \beta }=2R$  

$\frac{10}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=2R$  

$10\cdot \frac{4}{\sqrt{7}}=2R\mid :2$  

$\frac{20}{\sqrt{7}}=R$  

$\frac{20\sqrt{7}}{7}=R$