$\text{a)}$  

Rysunek pomocniczy:

Obliczmy długość boku tego sześciokąta. Zauważmy, że sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych, zatem $R=a.$     

$P=150\sqrt{3}$  

$6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=150\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{6}{4}{a}^2=150\mid :\frac{6}{4}$  

$a^2=150\cdot \frac{4}{6}$  

$a^2=100$  

$a=10$  

Zatem otrzymujemy:

$R=10$  

 

Obliczmy długość tego okręgu.

$L=2\pi R=2\pi \cdot 10=20\pi$  

---

$\text{b)}$  

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$P_{◯}=32\pi$  

$\pi R^2=32\pi \mid :\pi$  

$R^2=32$  

$R=\sqrt{32}$  

$R=4\sqrt{2}$  

Zatem mamy:

$a=4\sqrt{2}$  

 

Obliczmy pole tego sześciokąta.

$P=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=3\cdot \frac{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 16\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{2}=48\sqrt{3}$