a)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=x^2-2x-3$

Wiemy, że

$a=1,b=-2,c=-3$

Aby zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, należy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

Wobec tego, zapisujemy wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $\left(x_w,y_w\right).$

$x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(1\right)=$

$=1^2-2\cdot 1-3=$

$=1-2-3=-4$

Wnioskujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt $W\left(1,-4\right).$  

Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-x_w\right)}^2+y_w$

zatem

$f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2-4$

Wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając parabolę $y=x^2$ o wektor $\left[1,-4\right].$

Szkicujemy wykres funkcji $f.$

---

b)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=-x^2-2x+1$

Wiemy, że

$a=-1,b=-2,c=1$

Aby zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, należy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

Wobec tego, zapisujemy wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $\left(x_w,y_w\right).$

$x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{2}{-2}=-1$

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(-1\right)=$

$=-{\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)+1=$

$=-1+2+1=2$

Wnioskujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt $W\left(-1,2\right).$  

Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-x_w\right)}^2+y_w$

zatem

$f\left(x\right)=-{\left(x+1\right)}^2+2$

Wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając parabolę $y=-x^2$ o wektor $\left[-1,2\right].$

Szkicujemy wykres funkcji $f.$

---

c)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-2x$

Wiemy, że

$a=\frac{1}{2},b=-2,c=0$

Aby zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, należy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

Wobec tego, zapisujemy wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $\left(x_w,y_w\right).$

$x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{2}{1}=2$

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(2\right)=$

$=\frac{1}{2}\cdot 2^2-2\cdot 2=$

$=\frac{1}{2}\cdot 4-4=$

$=2-4=-2$

Wnioskujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt $W\left(2,-2\right).$  

Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-x_w\right)}^2+y_w$

zatem

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2-2$

Wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając parabolę $y=\frac{1}{2}{x}^2$ o wektor $\left[2,-2\right].$

Szkicujemy wykres funkcji $f.$

---

d)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$

Wiemy, że

$a=-\frac{1}{2},b=-2,c=1$

Aby zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, należy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

Wobec tego, zapisujemy wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $\left(x_w,y_w\right).$

$x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-2\right)}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{-1}=-2$

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(-2\right)=$

$=-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)+1=$

$=-\frac{1}{2}\cdot 4+4+1=$

$=-2+5=3$

Wnioskujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt $W\left(-2,3\right).$  

Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-x_w\right)}^2+y_w$

zatem

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x+2\right)}^2+3$

Wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając parabolę $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ o wektor $\left[-2,3\right].$

Szkicujemy wykres funkcji $f.$

---

e)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=2x^2+4x-1$

Wiemy, że

$a=2,b=4,c=-1$

Aby zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, należy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

Wobec tego, zapisujemy wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $\left(x_w,y_w\right).$

$x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot 2}=\frac{-4}{4}=-1$

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(-1\right)=$

${=2\cdot \left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)-1=$

$=2\cdot 1-4-1=$

$=2-5=-3$

Wnioskujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt $W\left(-1,-3\right).$  

Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-x_w\right)}^2+y_w$

zatem

$f\left(x\right)=2{\left(x+1\right)}^2-3$

Wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając parabolę $y=2x^2$ o wektor $\left[-1,-3\right].$

Szkicujemy wykres funkcji $f.$

---

f)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=-2x^2+12x-14$

Wiemy, że

$a=-2,b=12,c=-14$

Aby zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, należy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

Wobec tego, zapisujemy wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli $\left(x_w,y_w\right).$

$x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-12}{-4}=3$

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(3\right)=$

$=-2\cdot 3^2+12\cdot 3-14=$

$=-2\cdot 9+36-14=$

$=-18+22=4$

Wnioskujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt $W\left(3,4\right).$  

Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=a{\left(x-x_w\right)}^2+y_w$

zatem

$f\left(x\right)=-2{\left(x-3\right)}^2+4$

Wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając parabolę $y=-2x^2$ o wektor $\left[3,4\right].$

Szkicujemy wykres funkcji $f.$