$\text{a)}$

$f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}=\frac{x+2-2}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}-\frac{2}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}=-\frac{2}{x+2}+1$

Wykres funkcji f powstaje przez przesunięcie hiperboli $y=-\frac{2}{x}$   o 2 jednostki w lewo i 1 jednostkę w górę, więc wykres funkcji f to wykres II.

 

$g\left(x\right)=\frac{3x-4}{x-2}=\frac{3\left(x-2\right)+2}{x-2}=\frac{3\left(x-2\right)}{x-2}+\frac{2}{x-2}=3+\frac{2}{x-2}=\frac{2}{x-2}+3$

Wykres funkcji g powstaje przez przesunięcie hiperboli $y=\frac{2}{x}$   o 2 jednostki w prawo i 3 jednostki w górę, więc wykres funkcji g to wykres I. 

 

Obliczamy miejsca zerowe:

$f\left(x\right)=0$  

$\frac{x}{x+2}=0$   

$x=0$  

 

$g\left(x\right)=0$

$\frac{3x-4}{x-2}=0$  

$3x-4=0$  

$3x=4$  

$x=\frac{4}{3}$  

$x=1\frac{1}{3}$  

---

$\text{b)}$

$g\left(x\right)=x$

$\frac{3x-4}{x-2}=x\mid \cdot \left(x-2\right)$

$3x-4=x^2-2x\mid -3x$

$-4=x^2-5x$

$x^2-5x+4=0$

$\Delta =25-16=9$  

$x_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Oba otrzymane rozwiązania są poprawne, ponieważ należą do dziedziny. 

 

$f\left(x\right)=-x$

$\frac{x}{x+2}=-x\mid \cdot \left(x+2\right)$

$x=-x^2-2x\mid +x^2+2x$

$x^2+3x=0$

$x\left(x+3\right)=0$

$x=0\text{lub}x=-3$

Oba otrzymane rozwiązania są poprawne, ponieważ należą do dziedziny.