$\text{a)}\frac{x^2-1}{x+1}$  

Zał:

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

$D=R\backslash \left\{-1\right\}$  

 

Licznik rozpisujemy ze wzoru na różnicę kwadratów.  

$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{\left(x-1\right)\cdot \sout{\left(x+1\right)}}{\sout{x+1}}=x-1$  

---

$\text{b)}\frac{x^2+3x}{x^2-3x}$  

Wyznaczamy dziedzinę:

$x^2-3x\ne 0$  

$x\left(x-3\right)\ne 0$  

$x\ne 0,x\ne 3$     

$D=R\backslash \left\{0,3\right\}$  

 

Rozpisując to wyrażenie mamy:

$\frac{x^2+3x}{x^2-3x}=\frac{x\left(x+3\right)}{x\left(x-3\right)}=\frac{x+3}{x-3}$  

---

$\text{c)}\frac{x+2}{x^2+5x+6}$   

Wyznaczamy dziedzinę:

$x^2+5x+6\ne 0$  

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$    

$x_1\ne \frac{-5-1}{2}=-\frac{6}{2}=-3$  

$x_2\ne \frac{-5+1}{2}=-\frac{4}{2}=-2$        

$D=R\backslash \left\{-3,-2\right\}$   

 

Rozpisując to wyrażenie mamy:

$\frac{x+2}{x^2+5x+6}=\frac{\sout{x+2}}{\left(x+3\right)\cdot \sout{\left(x+2\right)}}=\frac{1}{x+3}$    

---

$\text{d)}\frac{x+5}{x^3+125}$  

Zał:

$x^3+125\ne 0$  

$x^3\ne -125$  

$x\ne -5$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-5\right\}$  

Rozpisując to wyrażenie mamy:

$\frac{x+5}{x^3+125}=\frac{x+5}{\left(x+5\right)\left(x^2-5x+25\right)}=\frac{1}{x^2-5x+25}$