Rozwiąż nierówność.- Zadanie 1: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

$a) \frac{- 6 x + 1}{2 x + 2} < 4$

Zał:

$2 x + 2 \neq = 0$

$2 x \neq = - 2$

$x \neq = - 1$

$D = R \ {- 1}$

$\frac{- 6 x + 1}{2 x + 2} < 4$

$\frac{- 6 x + 1}{2 x + 2} - 4 < 0$

$\frac{- 6 x + 1 - 4 ( 2 x + 2 )}{2 x + 2} < 0$

$\frac{- 6 x + 1 - 8 x - 8}{2 x + 2} < 0$

$\frac{- 14 x - 7}{2 ( x + 1 )} < 0$

$\frac{- 7 ( 2 x + 1 )}{2 ( x + 1 )} < 0$

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb:

$- 14 (2 x + 1) (x + 1) < 0$

Szkicujemy wykres funkcji:

$f (x) = - 14 (2 x + 1) (x + 1)$

Miejsca zerowe to:

$x = - \frac{1}{2} lub x = - 1$

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x \in (- \infty, - 1) \cup (- \frac{1}{2}, + \infty)$

$b) \frac{8 x + 6}{3 - x} > - 5$

Zał:

$3 - x \neq = 0$

$D = R \ {3}$

$\frac{8 x + 6}{3 - x} > - 5$

$\frac{8 x + 6}{3 - x} + 5 > 0$

$\frac{8 x + 6 + 5 ( 3 - x )}{3 - x} > 0$

$\frac{8 x + 6 + 15 - 5 x}{3 - x} > 0$

$\frac{3 x + 21}{3 - x} > 0$

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb:

$(3 x + 21) (3 - x) > 0$

$3 (x + 7) (3 - x) > 0$

Szkicujemy wykres funkcji:

$f (x) = 3 (x + 7) (3 - x)$

Miejsca zerowe to:

$x = - 7 lub x = 3$

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x \in (- 7, 3)$

$c) \frac{x + 5}{x + 7} > - 2$

Zał:

$x + 7 \neq = 0$

$D = R \ {- 7}$

$\frac{x + 5}{x + 7} > - 2$

$\frac{x + 5}{x + 7} + 2 > 0$

$\frac{x + 5 + 2 ( x + 7 )}{x + 7} > 0$

$\frac{x + 5 + 2 x + 14}{x + 7} > 0$

$\frac{3 x + 19}{x + 7} > 0$

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb:

$(3 x + 19) (x + 7) > 0$

Szkicujemy wykres funkcji:

$f (x) = (3 x + 19) (x + 7)$

Miejsca zerowe to:

$x = - 6 \frac{1}{3} lub x = - 7$

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x \in (- \infty, - 7) \cup (- 6 \frac{1}{3}, + \infty)$

$d) \frac{3 x + 1}{5 - 2 x} \leq 2$

Zał:

$5 - 2 x \neq = 0$

$D = R \ {\frac{5}{2}}$

$\frac{3 x + 1}{5 - 2 x} \leq 2$

$\frac{3 x + 1}{5 - 2 x} - 2 \leq 0$

$\frac{3 x + 1 - 2 ( 5 - 2 x )}{5 - 2 x} \leq 0$

$\frac{3 x + 1 - 10 + 4 x}{5 - 2 x} \leq 0$

$\frac{7 x - 9}{5 - 2 x} \leq 0$

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb:

$(7 x - 9) (5 - 2 x) \leq 0$

Szkicujemy wykres funkcji:

$f (x) = (7 x - 9) (5 - 2 x)$

Miejsca zerowe to:

$x = \frac{9}{7} lub x = \frac{5}{2}$

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x \in (- \infty, \frac{9}{7} ⟩ \cup ⟨ \frac{5}{2}, + \infty)$

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x \in (- \infty, \frac{9}{7} ⟩ \cup (\frac{5}{2}, + \infty)$

$e) \frac{3 x + 2}{5 x} \geq - 1$

Zał:

$5 x \neq = 0$

$D = R \ {0}$

$\frac{3 x + 2}{5 x} \geq - 1$

$\frac{3 x + 2}{5 x} + 1 \geq 0$

$\frac{3 x + 2 + 5 x}{5 x} \geq 0$

$\frac{8 x + 2}{5 x} \geq 0$

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb:

$5 x (8 x + 2) \geq 0$

$10 x (4 x + 1) \geq 0$

Szkicujemy wykres funkcji:

$f (x) = 10 x (4 x + 1)$

Miejsca zerowe to:

$x = 0 lub x = - \frac{1}{4}$

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x \in (- \infty, - \frac{1}{4} ⟩ \cup ⟨ 0, + \infty)$

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x \in (- \infty, - \frac{1}{4} ⟩ \cup (0, + \infty)$

$f) \frac{3 x + 6}{1 - 2 x} > - 4$

Zał:

$1 - 2 x \neq = 0$

$D = R \ {\frac{1}{2}}$

$\frac{3 x + 6}{1 - 2 x} > - 4$

$\frac{3 x + 6}{1 - 2 x} + 4 > 0$

$\frac{3 x + 6 + 4 ( 1 - 2 x )}{1 - 2 x} > 0$

$\frac{3 x + 6 + 4 - 8 x}{1 - 2 x} > 0$

$\frac{- 5 x + 10}{1 - 2 x} > 0$

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb:

$(- 5 x + 10) (1 - 2 x) > 0$

$- 5 (x - 2) (1 - 2 x) > 0$

Szkicujemy wykres funkcji:

$f (x) = - 5 (x - 2) (1 - 2 x)$

Miejsca zerowe to:

$x = 2 lub x = \frac{1}{2}$

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x \in (- \infty, \frac{1}{2}) \cup (2, + \infty)$

$g) \frac{- 4 x - 5}{5 - x} \leq 9$

Zał:

$5 - x \neq = 0$

$5 \neq = x$

$D = R \ {5}$

$\frac{- 4 x - 5}{5 - x} - 9 \leq 0$

$\frac{- 4 x - 5}{5 - x} - \frac{9 ( 5 - x )}{5 - x} \leq 0$

$\frac{- 4 x - 5}{5 - x} - \frac{45 - 9 x}{5 - x} \leq 0$

$\frac{- 4 x - 5 - 45 + 9 x}{5 - x} \leq 0$

$\frac{5 x - 50}{5 - x} \leq 0$

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb:

$(5 x - 50) (5 - x) \leq 0$

Szkicujemy wykres funkcji:

$f (x) = (5 x - 50) (5 - x)$

$f (x) = 5 (x - 10) (5 - x)$

Miejsca zerowe to:

$x = 10 lub x = 5$

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x \in (- \infty, 5 ⟩ \cup ⟨ 10, + \infty)$

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x \in (- \infty, 5) \cup ⟨ 10, + \infty)$

$h) \frac{- x + 7}{2 x + 5} \geq 4$

Zał:

$2 x + 5 \neq = 0$

$2 x \neq = - 5$

$x \neq = - \frac{5}{2}$

$D = R \ {- \frac{5}{2}}$

$\frac{- x + 7}{2 x + 5} - 4 \geq 0$

$\frac{- x + 7}{2 x + 5} - \frac{4 ( 2 x + 5 )}{2 x + 5} \geq 0$

$\frac{- x + 7}{2 x + 5} - \frac{8 x + 20}{2 x + 5} \geq 0$

$\frac{- x + 7 - 8 x - 20}{2 x + 5} \geq 0$

$\frac{- 9 x - 13}{2 x + 5} \geq 0$

Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak iloczyn tych liczb:

$(- 9 x - 13) (2 x + 5) \geq 0$

Szkicujemy wykres funkcji:

$f (x) = (- 9 x - 13) (2 x + 5)$

Miejsca zerowe to:

$x = - \frac{13}{9} lub x = - \frac{5}{2}$

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x \in ⟨ - \frac{5}{2}, - \frac{13}{9} ⟩$

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x \in (- \frac{5}{2}, - \frac{13}{9} ⟩$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Miejsce zerowe i punkty wspólne wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych

Premium

11:50

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.