a)

Dane jest równanie

$2x^2-9x-35=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=2,b=-9,c=-35$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$

$={\left(-9\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-35\right)=$

$=81+280=361$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{361}=19$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-\left(-9\right)-19}{2\cdot 2}=$

$=\frac{9-19}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-\left(-9\right)+19}{2\cdot 2}=$

$=\frac{9+19}{4}=\frac{28}{4}=7$

Wnioskujemy, że rozwiązaniami równania są $x=-\frac{5}{2}$ oraz $x=7.$

---

b)

Dane jest równanie

$4x^2-13x+3=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=4,b=-13,c=3$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$

$={\left(-13\right)}^2-4\cdot 4\cdot 3=$

$=169-48=121$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{121}=11$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-\left(-13\right)-11}{2\cdot 4}=$

$=\frac{13-11}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-\left(-13\right)+11}{2\cdot 4}=$

$=\frac{13+11}{8}=\frac{24}{8}=3$

Wnioskujemy, że rozwiązaniami równania są $x=\frac{1}{4}$ oraz $x=3.$

---

c)

Dane jest równanie

$-6x^2+13x+5=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=-6,b=13,c=5$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$

$=13^2-4\cdot \left(-6\right)\cdot 5=$

$=169+120=289$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{289}=17$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-13-17}{2\cdot \left(-6\right)}=$

$=\frac{-30}{-12}=\frac{5}{2}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-13+17}{2\cdot \left(-6\right)}=$

$=\frac{4}{-12}=-\frac{1}{3}$

Wnioskujemy, że rozwiązaniami równania są $x=\frac{5}{2}$ oraz $x=-\frac{1}{3}.$

---

d)

Dane jest równanie

$5x^2-6x+6=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=5,b=-6,c=6$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$

$={\left(-6\right)}^2-4\cdot 5\cdot 6=$

$=36-120=-84$

Skoro $\Delta <0$, to równanie kwadratowe jest sprzeczne (nie ma rozwiązań).

---

e)

Dane jest równanie

$-2x^2+5x-3=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=-2,b=5,c=-3$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$

$=5^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-3\right)=$

$=25-24=1$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-5-1}{2\cdot \left(-2\right)}=$

$=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-5+1}{2\cdot \left(-2\right)}=$

$=\frac{-4}{-4}=1$

Wnioskujemy, że rozwiązaniami równania są $x=\frac{3}{2}$ oraz $x=1.$

---

f)

Dane jest równanie

$4x^2+12x+9=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=4,b=12,c=9$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$

$=12^2-4\cdot 4\cdot 9=$

$=144-144=0$

Skoro $\Delta =0$, to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

$x_{}=\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-12}{2\cdot 4}=$

$=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$

Wnioskujemy, że rozwiązaniem równania jest $x=-\frac{3}{2}.$ 

---

g)

Dane jest równanie

$\frac{1}{2}{x}^2+x+1=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=\frac{1}{2},b=1,c=1$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego. 

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$ 

$=1^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=$

$=1-2=-1$

Skoro $\Delta <0$, to równanie kwadratowe jest sprzeczne (nie ma rozwiązań). 

---

h)

Dane jest równanie

$x^2-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}=0$

Powyższe równanie możemy zapisać w postaci

$x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0|\cdot 2$

$2x^2-x-1=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=2,b=-1,c=-1$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$ 

$={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=$

$=1+8=9$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)-3}{2\cdot 2}=$

$=\frac{1-3}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-\left(-1\right)+3}{2\cdot 2}=$

$=\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1$

Wnioskujemy, że rozwiązaniami równania są $x=-\frac{1}{2}$ oraz $x=1.$

---

i)

Dane jest równanie

$\frac{1}{4}{x}^2-\frac{x}{3}+\frac{1}{9}=0$

Powyższe równanie możemy zapisać w postaci

$\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}=0|\cdot 36$

$9x^2-12x+4=0$

Odczytujemy wartości współczynników trójmianu kwadratowego.

$a=9,b=-12,c=4$

Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c=$

$={\left(-12\right)}^2-4\cdot 9\cdot 4=$

$=144-144=0$

Skoro $\Delta =0$, to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie.

$x=\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-\left(-12\right)}{2\cdot 9}=$

$=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

Wnioskujemy, że rozwiązaniem równania jest $x=\frac{2}{3}.$