$\text{a)}$

Zał:

$x>0,x+4>0$  

$x>0,x>-4$  

$x\in \left(0,+\infty \right)$  

 

Z treści zadania wiemy, że:

$\frac{x-4}{x+4-4}=\frac{3}{5}$  

$\frac{x-4}{x}=\frac{3}{5}$  

$5\cdot \left(x-4\right)=3\cdot x$  

$5x-20=3x$  

$2x=20\mid :2$  

$x=10$  

 

Obliczmy obwód tego prostokąta.

$L=2\cdot x+2\cdot \left(x+4\right)=2\cdot 10+2\cdot \left(10+4\right)=$  

$=20+2\cdot 14=20+28=48\left[\text{cm}\right]$  

---

$\text{b)}$

Nowy prostokąt ma boki o długości (32-x) cm i (51-3x) cm. 

Oczywiście x i długości boków muszą być dodatnie, więc zapiszmy założenia:

$x>0,32-x>0,51-3x>0$  

$x>0,32>x,51>3x$  

$x>0,32>x,17>x$  

$x\in \left(0,17\right)$  

 

Przypadek I.

$\frac{32-x}{51-3x}=\frac{3}{4}\mid \cdot 4\left(51-3x\right)$

$4\left(32-x\right)=3\left(51-3x\right)$

$128-4x=153-9x\mid +9x-128$

$5x=25\mid :5$

$x=5$

 

Obliczmy obwód prostokąta przed zmianą.

$L_1=2\cdot \left(32+51\right)=2\cdot 83=166\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy obwód prostokąta po zmianie.

$L_2=2\cdot \left(32-5\right)+2\cdot \left(51-3\cdot 5\right)=2\cdot 27+2\cdot \left(51-15\right)=$  

$=54+2\cdot 36=54+72=126\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy, o ile zmniejszył się obwód: 

$L_1-L_2=166\left[\text{cm}\right]-126\left[\text{cm}\right]=40\left[\text{cm}\right]$

Odp. Obwód prostokąta zmniejszył się o 40 cm. 

 

Przypadek II.

$\frac{51-3x}{32-x}=\frac{3}{4}\mid \cdot 4\left(32-x\right)$

$4\left(51-3x\right)=3\left(32-x\right)$

$204-12x=96-3x\mid +12x-96$

$108=9x\mid :9$  

$x=12$             

 

Obliczamy, ile wynosił obwód przed zmianą.

$L_1=2\cdot \left(32+51\right)=2\cdot 83=166\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy obwód prostokąta po zmianie.

$L_2=2\cdot \left(32-12\right)+2\cdot \left(51-3\cdot 12\right)=2\cdot 20+2\cdot \left(51-36\right)=$

$=40+2\cdot 15=40+30=70\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy, o ile zmniejszył się obwód: 

$L_1-L_3=166\left[\text{cm}\right]-70\left[\text{cm}\right]=96\left[\text{cm}\right]$  

Odp. Obwód prostokąta zmniejszył się o 96 cm.