Na rysunku przedstawiono...- Zadanie 6: Matematyka z kluczem 8

Rozwiązanie

Własności trójkątów

W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych o miarach $3 0^{\circ}$ i $6 0^{\circ}$ boki mają następujące długości:

Przedstawiony graniastosłup to graniastosłup prawidłowy trójkątny, ponieważ jego podstawą jest trójkąt równoboczny.

Aby dokończyć rysowanie jego siatki, musimy dorysować dwie ściany boczne, czyli prostokąty o wymiarach $4 \times 8$ , oraz jedną z podstaw, czyli trójkąt równoboczny o boku długości $4$ .

W tym celu ustawmy rozwartość cyrkla na długość $4$ , a następnie stawiając cyrkiel w dwóch końcach boku wybranego prostokąta na boku długości $4$ odkładamy łuk o danej rozwartości. Otrzymujemy szukaną siatkę:

Jest to graniastosłup prosty, zatem jego wysokość to krawędź boczna, czyli wysokość ma długość $8 .$

Skoro każda krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość $4$ , a pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi $P = \frac{a ^{2} 3}{4}$ , to pole podstawy tego graniastosłupa wynosi:

$P_{p} = \frac{4 ^{2} 3}{4} = \frac{16 3}{4} = 43$

Wszystkie trzy ściany boczne tego graniastosłupa to przystające prostokąty o bokach długości $4$ oraz $8$ , zatem:

$P_{b} = 3 \cdot 4 \cdot 8 = 96$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:

$P_{c} = 2 P_{p} + P_{b} = 2 \cdot 43 + 96 = 83 + 96$

Zatem otrzymaliśmy, że pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi $83 + 96$ , a jego wysokość ma długość $8$ .

Przedstawiony graniastosłup to graniastosłup trójkątny, ponieważ jego podstawą jest trójkąt.

Niech:

$x$ - długość przeciwprostokątnej trójkąta w podstawie tego graniastosłupa

Aby naszkicować siatkę tego graniastosłupa, obliczmy długość przeciwprostokątnej trójkąta w jego podstawie korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$5^{2} + 1 2^{2} = x^{2}$

$25 + 144 = x^{2}$

$169 = x^{2}, x > 0$

$13 = x$

$x = 13$

Aby dokończyć rysowanie jego siatki, musimy dorysować dwie ściany boczne, czyli prostokąt o wymiarach $13 \times 6$ oraz prostokąt o wymiarach $12 \times 6$ , oraz jedną z podstaw, czyli trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $12$ i $5$ :

Jest to graniastosłup prosty, zatem jego wysokość to krawędź boczna, czyli wysokość ma długość $6 .$

Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa, czyli pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $5$ i $12$ :

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$

Obliczmy pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa, czyli sumę pól prostokątów o wymiarach $12 \times 6$ , $5 \times 6$ oraz $13 \times 6$ :

$P_{b} = 12 \cdot 6 + 5 \cdot 6 + 13 \cdot 6 = 72 + 30 + 78 = 180$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:

$P_{c} = 2 P_{p} + P_{b} = 2 \cdot 30 + 180 = 60 + 180 = 240$

Zatem otrzymaliśmy, że pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi $240$ , a jego wysokość ma długość $6$ .

Przedstawiony graniastosłup to graniastosłup trójkątny, ponieważ jego podstawą jest trójkąt.

Skoro dwa kąty trójkąta w podstawie mają miary $3 0^{\circ}$ oraz $9 0^{\circ}$ , to trzeci kąt trójkąta w podstawie ma miarę:

$18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$

Zatem jest to trójkąt o katach $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ .

Skoro jego przeciwprostokątna ma długość $8$ , to korzystając z własności trójkąta o takich kątach wiemy, że jego krótsza przyprostokątna ma długość $\frac{8}{2} = 4$ , a dłuższa przyprostokątna ma długość $43$ .

Aby dokończyć rysowanie jego siatki, musimy dorysować dwie ściany boczne, czyli prostokąt o wymiarach $5 \times 8$ oraz prostokąt o wymiarach $5 \times 43$ , oraz jedną z podstaw, czyli trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $4$ i $43$ :