Za pomocą cyrkla i linijki narysujemy sześciokąt foremny $ABCDEF$.

Rysujemy okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu długości np. $3\text{cm}$.

Na okręgu zaznaczamy dowolny punkt $A$.

Nie zmieniając rozwartości cyrkla, wbijamy nóżkę w punkt $A$ i kreślimy łuk przecinający okrąg. Punkt przecięcia łuku z okręgiem oznaczmy jako $B$.

Powtarzamy te kroki do momentu, aż wyznaczymy wszystkie wierzchołki sześciokąta. 

Następnie łączymy odcinkami sąsiednie punkty okręgu.

Otrzymaliśmy sześciokąt foremny $ABCDEF$.

Połączmy wierzchołki tego sześciokąta ze środkiem okręgu.

---

a)

Sześciokąt został podzielony na $6$ trójkątów.

Wierzchołki sześciokąta leżą na okręgu, więc odcinki łączące środek okręgu z wierzchołkami sześciokąta mają taką samą długość (w tym przypadku to $3\text{cm}$, bo okrąg o takim promieniu narysowaliśmy), czyli:

$SA=SB=SC=SD=SE=SF$

Sześciokąt ten jest foremny, więc ma boki równej długości, zatem:

$AB=BC=CD=DE=EF=AE$

Boki sześciokąta mają taką samą długość jak odcinki łączące środek okręgu z wierzchołkami sześciokąta, ponieważ wyznaczając te punkty nie zmienialiśmy rozwartości cyrkla od momentu narysowania okręgu o środku $S$. Wobec tego wszystkie narysowane odcinki mają taką samą długość. Oznacza to, że trójkąty, które powstały po podzieleniu sześciokąta $ABCDEF$, są równoboczne.

Odp. Sześciokąt został podzielony na $6$ trójkątów równobocznych.

---

b)

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego $ABCDEF$ podzieliły go na $6$ takich samych trójkątów równobocznych. W trójkącie równobocznym każdy kąt ma $60^{\circ }$. Na rysunku zaznaczmy dowolny kąt między sąsiednimi bokami sześciokąta foremnego.

Kąt taki ma $120^{\circ }$, ponieważ:

$60^{\circ }+60^{\circ }=120^{\circ }$

Odp. Kąt między sąsiednimi bokami sześciokąta foremnego ma $120^{\circ }$.

---

c)

Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego pokrywa się z dwoma bokami dwóch trójkątów równobocznych. Z kolei bok sześciokąta foremnego jest równocześnie bokiem takiego trójkąta.

Zatem przekątna ta jest $2$ razy dłuższa od boku sześciokąta.

Odp. Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest $2$ razy dłuższa od boku sześciokąta.

---

d) 

Obwód figury to łączna długość wszystkich jej boków. Każdy z narysowanych odcinków ma długość $3\text{cm}$, więc obwód sześciokąta foremnego $ABCDEF$ narysowanego przez nas jest równy:

$6\cdot 3\text{cm}=18\text{cm}$

Odp. Obwód sześciokąta foremnego wynosi $18\text{cm}$.

---

e)

Sześciokąt foremny ma $6$ osi symetrii. Narysujmy je.

Odp. Sześciokąt foremny ma $6$ osi symetrii.