a)

Dany jest sześciokąt foremny o boku długości $2$ oraz jego przekątna, tak jak na rysunku poniżej:

Zauważmy, że zaznaczona przekątna składa się z dwóch wysokości trójkąta równobocznego o boku długości $2$.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równa:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Zatem wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $2$ jest równa:

$h=\frac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}}=\sqrt{3}$

Zatem długość połowy tej przekątnej to $\underline{\sqrt{3}}$.

Wobec tego otrzymaliśmy, że długość tej przekątnej to $\underline{2\sqrt{3}}$.

---

b)

Dany jest sześciokąt foremny o boku długości $a$ oraz jego przekątna, tak jak na rysunku poniżej:

Zauważmy, że zaznaczona przekątna składa się z dwóch wysokości trójkąta równobocznego o o boku długości $a$.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $a$ jest równa:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Zatem długość połowy tej przekątnej to $\underline{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$.

Wobec tego otrzymaliśmy, że długość tej przekątnej to:

$\cancel{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{\cancel{2}}=a\sqrt{3}$

Zatem dłuższa przekątna sześciokąta foremnego o boku długości $a$ ma długość $\underline{a\sqrt{3}}$.