Zacznijmy od zaznaczenia krawędzi tej samej długości.

Nanieśmy na rysunek pomocnicze oznaczenia:

Obliczmy długości krawędzi $x$ i $y$, korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa. Mamy:

$x^2+4^2={\left(2\sqrt{13}\right)}^2$

$x^2+16=4\cdot 13$

$x^2+16=52|-16$

$x^2=36|\sqrt{},x>0$

$x=6$

oraz

$y^2+4^2=x^2$

$y^2+4^2=6^2$

$y^2+16=36|-16$

$y^2=20|\sqrt{},y>0$

$y=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$

Podstawą tego ostrosłupa jest kwadrat o boku długości $a=4$. Obliczmy pole podstawy:

$P_p=a^2=4^2=16$

Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech trójkątów prostokątnych: dwóch o przyprostokątnych długości $4$ i $6$ oraz dwóch o przyprostokątnych długości $4$ i $2\sqrt{5}$, czyli:

$P_b={\cancel{2}}^1\cdot \frac{1}{{\cancel{2}}_1}\cdot 4\cdot 6+{\cancel{2}}^1\cdot \frac{1}{{\cancel{2}}_1}\cdot 4\cdot 2\sqrt{5}=24+8\sqrt{5}$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b=16+24+8\sqrt{5}=\underline{40+8\sqrt{5}}$