Treść:

W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątną $AC$ wydłużono o $7\mathrm{cm}$, a przyprostokątną $AB$ wydłużono o $12\mathrm{cm}$ i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny $ADE$ o polu równym $200{\mathrm{cm}}^2.$(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

---

Rozwiązanie:

Wiemy, że:

$\left|AD\right|=\left|AE\right|$

$P_{\text{AED}}=200{\mathrm{cm}}^2$

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest podstawą, a druga - wysokością opuszczoną na tę podstawę. Możemy zatem zapisać, że:

$P_{\text{AED}}=\frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|\cdot \left|AE\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|\cdot \left|AD\right|$

Pole jest równe $200{\mathrm{cm}}^2$, zatem:

$\frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|\cdot \left|AD\right|=200$

$\frac{1}{2}\cdot {\left|AD\right|}^2=200|\cdot 2$

${\left|AD\right|}^2=400|\sqrt{},\left|AD\right|>0$

$\left|AD\right|=\sqrt{400}=20\text{[cm]}$

Przyprostokątna trójkąta $AED$ jest równa $20\mathrm{cm}$.

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

---

Obliczmy długości przyprostokątnych trójkąta $ABC$:

$\left|AC\right|=20\mathrm{cm}-7\mathrm{cm}=13\mathrm{cm}$

$\left|AB\right|=20\mathrm{cm}-12\mathrm{cm}=8\mathrm{cm}$

Pole trójkąta $ABC$ jest zatem równe:

$P_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|AB\right|=\frac{1}{{\cancel{2}}_1}\cdot 13\cdot {\cancel{8}}^4=52{\text{[cm}}^2\text{]}$

Drugie zdanie jest prawdziwe.

---

Odp. PP.