Treść:

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe $0,01$. Kontroli poddajemy $10$ losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenie:

$A$ - zdarzenie polegające na tym, że w $10$ losowo wybranych opakowaniach śmietany co najwyżej jedno opakowanie będzie zawierało mniej niż 36% tłuszczu

Kontrole kolejnych opakowań są od siebie niezależne, zatem możemy zastosować schemat Bernoullego, czyli skorzystać ze wzoru:

$P_n\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot q^{n-k}$

gdzie

$n$ - liczba prób,

$k$ - liczba sukcesów, gdzie $0⩽k⩽n$

$p$ - prawdopodobieństwo sukcesu

$q$ - prawdopodobieństwo porażki, równe $1-p$

W naszym przypadku $n=10$, ponieważ wybieramy losowo $10$ opakowań.

Sukcesem nazwiemy zdarzenie, w którym wylosowane opakowanie zawierało mniej niż 36% tłuszczu, zatem jego prawdopodobieństwo wynosi $\frac{1}{100}$.

Porażką nazwiemy zdarzenie przeciwne, w którym wylosowane opakowanie nie zawierało mniej niż 36% tłuszczu, zatem jego prawdopodobieństwo wynosi:

$1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$

Jeżeli chcemy, aby co najwyżej jedno opakowanie zawierało mniej niż 36% tłuszczu, to oznacza, że zero lub jedno opakowanie zawiera taką ilość. Chcemy zatem obliczyć:

$P_{10}\left(0\right)$  oraz  $P_{10}\left(1\right)$

Obliczmy prawdopodobieństwo, że żadne opakowanie nie zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Zastosujemy schemat Bernoullego. Otrzymujemy:

$P_{10}\left(0\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 0\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^0\cdot {\left(\frac{99}{100}\right)}^{10}=\frac{99^{10}}{100^{10}}$

Obliczmy prawdopodobieństwo, że jedni opakowanie nie zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Zastosujemy schemat Bernoullego. Otrzymujemy:

$P_{10}\left(1\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^1\cdot {\left(\frac{99}{100}\right)}^9=10\cdot \frac{99^9}{100^{10}}$

Szukanym prawdopodobieństwem będzie suma prawdopodobieństw:

$P\left(A\right)=P_{10}\left(0\right)+P_{10}\left(1\right)$

Zatem:

$P\left(A\right)=\frac{99^{10}}{100^{10}}+10\cdot \frac{99^9}{100^{10}}=\frac{99^9}{100^9}\cdot \left(\frac{99}{100}+\frac{10}{100}\right)=\frac{99^9}{100^9}\cdot \left(\frac{109}{100}\right)=0,99^9\cdot 1,09\approx 0,996$

---

Odp. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi w przybliżeniu $0,996$.