Treść:

Dany jest wielomian $W\left(x\right)=3x^3+6x^2+9x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F\left(x\right)=3x$ i $G\left(x\right)=x^2+2x+3$.	P	F
Liczba $\left(-1\right)$ jest rozwiązaniem równania $W\left(x\right)=0$.	P	F

---

Rozwiązanie:

Zdanie 1.

Obliczmy iloczyn wielomianów $F\left(x\right)$ i $G\left(x\right)$.

$F\left(x\right)\cdot G\left(x\right)=3x\cdot \left(x^2+2x+3\right)=3x\cdot x^2+3x\cdot 2x+3x\cdot 3=3x^3+6x^2+9x=W\left(x\right)$

Zdanie jest PRAWDZIWE.

Zdanie 2.

Rozwiążmy równanie

$$\begin{gathered} W\left(x\right)=0 \\ 3x^3+6x^2+9x=0 \end{gathered}$$

Korzystając z tego, że Zdanie 1 jest prawdziwe wiemy, że $W\left(x\right)=3x\cdot \left(x^2+2x+3\right)$. Mamy zatem

$$\begin{gathered} 3x\left(x^2+2x+3\right)=0 \\ 3x=0\text{lub}{x}^2+2x+3=0 \end{gathered}$$

Obliczmy wyróżnik dla drugiego równania

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$

To równanie nie ma rozwiązań, ponieważ wyróżni jest ujemny. Otrzymaliśmy tylko jedno rozwiązanie

$x=0\ne -1$

Zdanie jest FAŁSZYWE.

---

Odp. PF.