Treść:

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n⩾1$ liczba $n^2+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

---

Rozwiązanie:

Rozważmy sumę:

$n^2+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2$,  gdzie  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, czyli ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$, otrzymujemy:

$n^2+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=3n^2+6n+5=$

$=3n^2+6n+3+2=3\underset{\in \mathbb{N}}{\underbrace{\left(n^2+2n+1\right)}}+2$ 

Zatem liczba $n^2+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$, co należało wykazać.