Treść:

W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\mathrm{tg}\alpha =-3$ oraz $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ............. oraz ............ .

A.   $\sin \alpha <0$

B.   $\sin \alpha \cdot \cos \alpha <0$

C.   $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$

D.   $\cos \alpha >0$

E.   $\sin \alpha =-\frac{1}{3}\cos \alpha$

F.   $\sin \alpha =-3\cos \alpha$

---

Rozwiązanie:

Dany jest kąt $\alpha$ taki, że $\alpha \in \left(90^{\circ },180^{\circ }\right).$

Dla takiego rozwartego kąta $\alpha$ wiemy, że $\sin \alpha >0$ oraz $\cos \alpha <0.$

Wyrażenie $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ jest zatem iloczynem liczby dodatniej $\sin \alpha$ i liczby ujemnej $\cos \alpha ,$ czyli wyrażenie $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ jest liczbą ujemną, więc prawdziwa jest zależność B.

O podanym kącie wiemy dodatkowo, że $\mathrm{tg}\alpha =-3.$ Korzystając z tożsamości trygonometrycznej $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ mamy:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-3|\cdot \cos \alpha$

$\sin \alpha =-3\cos \alpha$

więc prawdziwa jest również zależność F. 

---

Odp. Prawdziwe są zależności: B oraz F.