Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Zauważamy, że przekrojem ostrosłupa opisanym w treści zadania jest trapez równoramienny $BCFE$.   

---

Z treści zadania wiemy, że

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$

Zatem możemy zapisać, że w trójkącie $OPS$ zachodzi

$\frac{\left|OP\right|}{\left|PS\right|}=\cos \alpha$

$\frac{\frac{a}{2}}{h}=\cos \alpha$

$\frac{\frac{a}{2}}{h}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

$5a=\sqrt{10}h$

$h=\frac{5a}{\sqrt{10}}$

$h=\frac{\sqrt{10}a}{2}$

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $OPS$ dostajemy

${\left|O{P}^{}\right|}^2+{\left|OS\right|}^2={\left|SP\right|}^2$

${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+H^2=h^2$

$\frac{a^2}{4}+H^2={\left(\frac{\sqrt{10}a}{2}\right)}^2$

$\frac{a^2}{4}+H^2=\frac{10a^2}{4}$

$H^2=\frac{9a^2}{4},H>0,a>0$

$H^2=\frac{3a}{2}$

---

Zauważmy, że pole trójkąta $QPS$ możemy obliczyć na dwa sposoby

$P_{QPS}=\frac{1}{2}\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot hb$

Wobec tego

$\frac{1}{2}a\cdot \frac{3}{2}a=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{10}a}{2}\cdot b$

$\frac{3}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{10}a}{4}\cdot b|\cdot \frac{4}{\sqrt{10}a}$

$\frac{3}{4}{a}^2\cdot \frac{4}{\sqrt{10}a}=b$

$b=\frac{3a}{\sqrt{10}}$

$b=\frac{3\sqrt{10}a}{10}$

---

Wyznaczamy długość odcinka $RQ$. Zauważamy, że trójkąt $OPS$ jest podobny do trójkąta $QPR$ (na mocy cechy kąt-kąt-kąt), zatem

$\frac{\frac{a}{2}}{\left|RQ\right|}=\frac{h}{a}$

$\frac{a^2}{2}=h\cdot \left|RQ\right|$

$\frac{a^2}{2}=\frac{\sqrt{10}a}{2}\cdot \left|RQ\right||\cdot \frac{2}{\sqrt{10}a}$

$\left|RQ\right|=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{10}a}$

$\left|RQ\right|=\frac{a}{\sqrt{10}}$

$\left|RQ\right|=\frac{\sqrt{10}a}{10}$

---

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Zauważmy, że

$\left|RS\right|=h-\left|RQ\right|=\frac{\sqrt{10}a}{2}-\frac{\sqrt{10}a}{10}=\frac{5\sqrt{10}a}{10}-\frac{\sqrt{10}a}{10}=\frac{4\sqrt{10}a}{10}=\frac{2\sqrt{10}a}{5}$

Trójkąt $QDS$ jest podobny do trójkąta $RFS$ na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Stąd

$\frac{h}{\frac{a}{2}}=\frac{\left|RS\right|}{\left|RF\right|}$

$h\cdot \left|RF\right|=\frac{a}{2}\cdot \left|RS\right|$

$\frac{\sqrt{10}a}{2}\cdot \left|RF\right|=\frac{a}{2}\cdot \frac{2\sqrt{10}a}{5}|\cdot \frac{2}{\sqrt{10}a}$

$\left|RF\right|=\frac{2}{5}a$

Wobec tego 

$\left|EF\right|=2\cdot \left|RF\right|=2\cdot \frac{2}{5}a=\frac{4}{5}a$

---

Obliczamy pole trapezu $BCFE$. Mamy

$P_{BCFE}=\frac{\left|BC\right|+\left|EF\right|}{2}\cdot \left|PR\right|=\frac{\left(a+\left|EF\right|\right)}{2}\cdot b=\frac{\left(a+\frac{4}{5}a\right)}{2}\cdot \frac{3\sqrt{10}a}{10}=\frac{9}{5}a\cdot \frac{3\sqrt{10}a}{10}\cdot \frac{1}{2}=\boxed{\frac{27\sqrt{10}{a}^2}{100}}$