a)

Zauważmy, że jeśli obie ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny to wysokość ostrosłupa pokrywa się z jedną z krawędzi bocznych. Wiemy, że w takim razie wszystkie ściany boczne to trójkąty prostokątne.

Niech boki prostokąta będą oznaczone jako $a$ i $b$, gdzie $b>a$. Ze względu na to mniejszy kąt jest przyległy do dłuższej krawędzi a większy do krótszej.

$\alpha =\frac{\pi }{6}=30^{\circ }$

$\beta =\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$

Na czerwono zaznaczono wysokość ostrosłupa. Dla ułatwienia narysujmy ostrosłup oraz jego siatkę wraz z zaznaczonymi kątami.

---

b)

Mamy dane pole podstawy, zatem

$ab=9,a>0$

$b=\frac{9}{a}$

Zauważmy, że rozważamy dwa trójkąty będące połową trójkąta równobocznego. Narysujmy je.

Zatem mamy

$b=H\sqrt{3}\text{i}H=a\sqrt{3}$

Stąd

$H=\frac{b}{\sqrt{3}}\text{i}H=a\sqrt{3}$

$H=\frac{9}{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\text{i}H=a\sqrt{3}$

A stąd

$a\sqrt{3}=\frac{9}{a\sqrt{3}}$

$3a^2=9$

$a^3=3,a>0$

$a=\sqrt{3}\text{dm}$

A stąd

$H=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\text{dm}$

Obliczmy objętość tego ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 3=\underline{9{\text{dm}}^3}$