Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Z treści zadania wiemy, że

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{5}{8}\left(\ast \right)$

Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta $ABC$jest równa $180^{\circ }$, czyli

$\left|\sphericalangle ACB\right|=180^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)$

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe, więc

$\left|\sphericalangle ADC\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABC\right|=180^{\circ }-\beta$

W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu jest równa $180^{\circ }$, zatem

$\left|\sphericalangle ACD\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABC\right|-\beta =180^{\circ }-\left(180^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)\right)-\beta =180^{\circ }-180^{\circ }+\alpha +\beta -\beta =\alpha$

$\left|\sphericalangle CAD\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle ACD\right|-\left|\sphericalangle ADC\right|=180^{\circ }-\alpha -\left(180^{\circ }-\beta \right)=180^{\circ }-\alpha -180^{\circ }+\beta =\beta -\alpha$

Stąd

$\left|\sphericalangle BAD\right|=\left|\sphericalangle CAD\right|+\alpha =\beta -\alpha +\alpha =\beta$

Pokazaliśmy, że

$\left|\sphericalangle ABC\right|=\left|\sphericalangle BAD\right|=\beta$

To oznacza, że trapez $ABCD$ jest równoramienny, czyli

$\underline{\left|AD\right|=\left|BC\right|=6}$

---

Z twierdzenia sinusów w trójkącie $ABC$ mamy

$\frac{\left|BC\right|}{\sin \alpha }=2R$

$\frac{6}{\sin \alpha }=2\cdot 5$

$\frac{6}{\sin \alpha }=10$

$\sin \alpha =\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ 

Podstawiamy wyliczony sinus do $\left(\ast \right)$ i otrzymujemy

$\frac{\frac{3}{5}}{\sin \beta }=\frac{5}{8}$

$5\sin \beta =\frac{24}{5}|:5$

$\sin \beta =\frac{24}{25}$

Korzystając z twierdzenia sinusów kolejny raz

$\frac{\left|AC\right|}{\sin \beta }=2R$

$\left|AC\right|=2\cdot R\cdot \sin \beta$

$\left|AC\right|=2\cdot 5\cdot \frac{24}{25}$

$\left|AC\right|=\frac{48}{5}$

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

 

Rozważmy trójkąt prostokątny $BEC$. Zachodzi

$\sin \beta =\frac{h}{6}$

$\frac{24}{25}=\frac{h}{6}$

$25h=144|:25$

$\underline{h=\frac{144}{25}}$ 

Łatwo zauważyć, że

$\cos \alpha =\frac{4}{5}\text{i}\cos \beta =\frac{7}{25}$

ponieważ rozważać je można jako cosinusy kątów w trójkącie Pitagorejskim $3$, $4$ i $5$ oraz $7$, $24$, $25$. Można to również oczywiście wyliczyć z jedynki trygonometrycznej, przy czym rozważamy kąty ostre.

Zastosujmy twierdzenie cosinusów w trójkącie $ABC$.

${\left|AB\right|}^2={\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2-2\cdot \left|AC\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \cos \left|\sphericalangle ACB\right|$

Obliczmy, korzystając ze wzoru redukcyjnego oraz wzoru na cosinus sumy kątów.

$\cos \left|\sphericalangle ACB\right|=\cos \left(180^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)\right)=-\cos \left(\alpha +\beta \right)=-\left(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right)=\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{24}{25}-\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{25}=\frac{72-28}{125}=\frac{44}{125}$

Mamy zatem

${\left|AB\right|}^2={\left(\frac{48}{5}\right)}^2+6^2-2\cdot \frac{48}{5}\cdot 6\cdot \frac{44}{125}$

${\left|AB\right|}^2=\frac{2304}{25}+36-\frac{25344}{625}$

${\left|AB\right|}^2=\frac{57600+22500-25344}{625}$

${\left|AB\right|}^2=\frac{54756}{625},\left|AB\right|>0$

$\underline{\left|AB\right|=\frac{234}{25}}$

Zastosujmy twierdzenie cosinusów w trójkącie $ACD$.

${\left|CD\right|}^2={\left|AC\right|}^2+{\left|AD\right|}^2-2\cdot \left|CD\right|\cdot \left|AD\right|\cdot \cos \left|\sphericalangle CAD\right|$

Obliczmy, korzystając ze wzoru na cosinus różnicy kątów.

$\cos \left|\sphericalangle CAD\right|=\cos \left(\beta -\alpha \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{25}+\frac{3}{5}\cdot \frac{24}{25}=\frac{28+72}{125}=\frac{100}{125}=\frac{4}{5}$

Mamy zatem

${\left|CD\right|}^2={\left(\frac{48}{5}\right)}^2+6^2-2\cdot \frac{48}{5}\cdot 6\cdot \frac{4}{5}$

${\left|CD\right|}^2=\frac{2304}{25}+36-\frac{2304}{25}$

${\left|CD\right|}^2=36,\left|CD\right|>0$

$\underline{\left|CD\right|=6}$ 

---

Obliczamy pole trapezu $ABCD$.

$P_{ABCD}=\frac{\left(\left|AB\right|+\left|CD\right|\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(\frac{234}{25}+6\right)\cdot \frac{144}{25}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{234}{25}+\frac{150}{25}\right)\cdot \frac{144}{25}=\frac{384}{25}\cdot \frac{72}{25}=\boxed{\frac{27648}{625}}=\underline{\underline{44,2368}}$

Obliczamy obwód trapezu $ABCD$.

$L_{ABCD}=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|CD\right|+\left|AD\right|=\frac{234}{25}+6+6+6=\frac{234}{25}+18=\frac{234}{25}+\frac{450}{25}=\boxed{\frac{684}{25}}=\underline{\underline{27,36}}$