Przyjmiemy oznaczenia jak na poniższym rysunku, zgodnie z treścią zadania.  

Skoro obwód tego trapezu wynosi $20\text{cm}$, to

$a+b+2c=20$

Wiemy też, że trapez jest opisany na okręgu a to oznacza, że

$a+b=c+c$

A zatem

$c+c+2c=20$

$4c=20|:4$

$\underline{c=5\text{cm}}$

Oraz

$a+b=10\text{cm}$

---

Zauważmy, że 

$\left|EB\right|=\frac{b-a}{2}$

A stąd

$\left|AE\right|=b-\frac{b-a}{2}=\frac{2b-b+a}{2}=\frac{a+b}{2}=\frac{10}{2}=5\text{cm}$

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACE$. Mamy

${\left|CE\right|}^2+{\left|AE\right|}^2={\left|AC\right|}^2$

$h^2+5^2={\sqrt{41}}^2$

$h^2+25=41$

$h^2=16,h>0$

$\underline{h=4\text{cm}}$

---

Obliczmy pole trapezu

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}=\frac{10\cdot 4}{2}=\boxed{20{\text{cm}}^2}$