Cechy przystawania trójkątów

Cecha BBB: Jeżeli trzy boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie trzy boki drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające. Cecha BKB: Jeżeli dwa boki i kąt zawarty między nimi w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. Cecha KBK: Jeżeli bok i dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm leżącym przy nim kątom w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

---

Zauważmy, że dwa powstałe trójkąty równoboczne mają boki o  takiej samej długości jak odpowiednie boki prostokąta. 

Sporządzamy rysunek pomocniczy - kolorami czerwonym i niebieskim zaznaczamy odcinki o takiej samej długości oraz zapisujemy miary niektórych kątów.

Rysunek:

Aby pokazać, że trójkąt $PQC$ jest równoboczny, uzasadnimy, że wszystkie boki tego trójkąta mają taką samą długość.

Zauważmy, że:

$|PD|=|BC|=|AP|$

$|DC|=|BQ|=|QA|$

Czyli każdy z trójkątów $PDC,CBQ$ i $PAQ$ ma odpowiednie boki równe, co każdy z pozostałych dwóch trójkątów. Obliczmy miary kątów, między równymi bokami w każdym z tych trzech trójkątów.

$\left|\sphericalangle PDC\right|=60^{\circ }+90^{\circ }=150^{\circ }$

$\left|\sphericalangle CBQ\right|=60^{\circ }+90^{\circ }=150^{\circ }$

$\left|\sphericalangle PAQ\right|=360^{\circ }-\left(60^{\circ }+90^{\circ }+60^{\circ }\right)=360^{\circ }-210^{\circ }=150^{\circ }$

Otrzymaliśmy, że każdy z trzech rozważanych trójkątów ma kąt o mierze $150^{\circ }$

---

Skoro dwa boki dowolnego z trójkątów $PDC,CBQ$ i $PAQ$ są równe odpowiednim bokom w pozostałych dwóch trójkątach oraz kąty między tymi bokami w każdym z tych trzech trójkątów są również równe, to na podstawie cechy bok-kąt-bok (bkb) trójkąty $PDC,CBQ$ i $PAQ$ są przystające.

Symbolicznie możemy to zapisać jako:

$△PDC\equiv △CBQ\equiv △PAQ\left(bkb\right)$

Stąd wynika, że pozostałe boki w tych trójkątach są również odpowiednio równe, czyli

$\left|PC\right|=\left|CQ\right|=\left|PQ\right|$

Trójkąt $PQC$ ma wszystkie boki tej samej długości, więc jest równoboczny, co należało uzasadnić.