Dane jest równanie:

$\cos 2x+3\cos x=-2$ dla $x\in \left[0;2\pi \right]$

Korzystając ze wzoru na kosinus podwojonego kąta, powyższe równanie możemy zapisać w postaci:

${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+3\cos x=-2$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, możemy zapisać:

${\cos }^{2}x-\left(1-{\cos }^{2}x\right)+3\cos x=-2|+2$

${\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+3\cos x+2=0$

$2{\cos }^{2}x+3\cos x+1=0$

Niech:

$\cos x=t$, gdzie $t\in \left[-1;1\right]$

Rozwiązania wyjściowego równania będą takie same, jak rozwiązania równania:

$2t^2+3t+1=0$, gdzie $t\in \left[-1;1\right]$

Rozwiążmy równanie:

$2t^2+3t+1=0$

$\Delta =3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

$t_1=\frac{-3-1}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1\in \left[-1;1\right]$

$t_2=\frac{-3+1}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\in \left[-1;1\right]$

Zatem:

$\cos x=-1\vee \cos x=-\frac{1}{2}$

• Rozwiążmy równanie:

$\cos x=-1$

Zauważmy, że:

$\cos \pi =-1$

Funkcja $y=\cos x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=\pi +2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Zatem dla $x\in \left[0;2\pi \right]$ rozwiązaniem wyjściowego równania jest:

$x=\pi$

• Rozwiążmy równanie:

$\cos x=-\frac{1}{2}$

Zauważmy, że:

$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

$\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

Funkcja $y=\cos x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ lub $x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Zatem dla $x\in \left[0;2\pi \right]$ rozwiązaniem wyjściowego równania jest:

$x=\frac{2\pi }{3}\vee x=\frac{4\pi }{3}$

Zatem rozwiązaniem podanego równania jest:

$\underline{\underline{x=\pi \vee x=\frac{2\pi }{3}\vee x=\frac{4\pi }{3}}}$