Wielomian $W$ zadany jest wzorem:

$W\left(x\right)=x^5-5x^3+4x$

Zapiszmy wartość wielomianu $W$ w innej postaci:

$x^5-5x^3+4x=x\left(x^4-5x^2+4\right)=x\left(x^4-x^2-4x^2+4\right)=x\left(x^2\left(x^2-1\right)-4\left(x^2-1\right)\right)=$

$=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=$

$=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\cdot x\cdot \left(x+1\right)\left(x+2\right)$

Zatem dla $x\in \mathbb{Z}$ wartość wielomianu $W$ to iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych. Wśród tych liczb na pewno jest:

• jedna podzielna przez $5$,
• jedna podzielna przez $4$,
• jedna podzielna przez $3$,
• jedna podzielna przez $2$.

Wobec tego wartość wielomianu dla $x\in \mathbb{Z}$ jest liczbą podzielną przez:

$2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

Zatem dla każdego $x\in \mathbb{Z}$ wartość wielomianu $W$ jest podzielna przez $120$, co należało uzasadnić.