a)

Dane są wielomiany $P$ i $Q$:

$P\left(x\right)=2x^3+a{x}^2+5x+b+c$ oraz $Q\left(x\right)=\left(b-3\right)x^3+a{x}^2+\left(2a+c\right)x+4$

Aby wielomiany były równe, współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być takie same. Zatem:

$\{\begin{array}{l}2=b-3\\ a=a\\ 5=2a+c\\ b+c=4\end{array}$

Zatem mamy:

$\{\begin{array}{l}5=b\\ 5=2a+c\\ b+c=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 5=2a+c\\ 5+c=4|-5\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 5=2a+c\\ c=-1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 5=2a-1|+1\\ c=-1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 6=2a|:2\\ c=-1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 3=a\\ c=-1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=5\\ a=3\\ c=-1\end{array}$

 Zatem otrzymaliśmy, że:

$a=3$  oraz   $b=5$  oraz   $c=-1$

---

b)

Dane są wielomiany $P$ i $Q$:

$P\left(x\right)=a{x}^3-4x^2+5x-2$ oraz ${Q\left(x\right)=\left(x-b\right)}^2\left(x-c\right)$

Zapiszmy wielomian $Q$ w innej postaci:

$Q\left(x\right)={\left(x-b\right)}^2\left(x-c\right)=(x^2-2bx+b^2)\left(x-c\right)=$

$=x^3-c{x}^2-2b{x}^2+2bcx+b^{2}x-b^{2}c=x^3+\left(-c-2b\right)x^2+\left(2bc+b^2\right)x-b^{2}c$

Aby wielomiany były równe, współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być takie same. Zatem:

$\{\begin{array}{l}a=1\\ -4=-c-2b|\cdot (-1)\\ 5=2bc+b^2\\ -2=-b^{2}c|\cdot (-1)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ 4=c+2b|-2b\\ 5=2bc+b^2\\ 2=b^{2}c\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ 4-2b=c\\ 5=2b(4-2b)+b^2\\ 2=b^{2}c\end{array}$

Rozwiążmy równanie:

$5=2b\left(4-2b\right)+b^2$

$5=8b-4b^2+b^2$

$5=8b-3b^2|+3b^2-8b$

$3b^2-8b+5=0$

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 3\cdot 5=64-60=4$

$\sqrt{\Delta }=2$

$b_1=\frac{8-2}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$

$b_2=\frac{8+2}{2\cdot 3}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ 4-2b=c\\ b=1\\ 2=b^{2}c\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=1\\ 4-2b=c\\ b=\frac{5}{3}\\ 2=b^{2}c\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ 4-2=c\\ b=1\\ 2=b^{2}c\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=1\\ 4-2\cdot \frac{5}{3}=c\\ b=\frac{5}{3}\\ 2=b^{2}c\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ 2=c\\ b=1\\ 2=b^{2}c\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=1\\ \frac{12}{3}-\frac{10}{3}=c\\ b=\frac{5}{3}\\ 2=b^{2}c\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ c=2\\ b=1\\ 2=b^{2}c\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=1\\ \frac{2}{3}=c\\ b=\frac{5}{3}\\ 2=b^{2}c\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ c=2\\ b=1\\ 2=b^{2}c\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=1\\ c=\frac{2}{3}\\ b=\frac{5}{3}\\ 2=b^{2}c\end{array}$

Zauważmy, że:

$1^2\cdot 2=2$

${\left(\frac{5}{3}\right)}^2\cdot \frac{2}{3}=\frac{25}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{50}{27}\ne 2$

Wobec tego otrzymaliśmy, że:

$a=1$  oraz  $b=1$   $c=2$