a)

Dane są wielomiany $P$ oraz $Q$:

$P\left(x\right)=x^3-4x$  oraz $Q\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

Aby rozstrzygnąć, czy te wielomiany są równe, sprawdźmy, czy współczynniki przy odpowiednich potęgach są takie same. Zapiszmy wielomian $Q$ w innej postaci, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

$Q\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=x\left(x^2-4\right)=x^3-4x$

Widzimy, że współczynniki przy odpowiednich potęgach wielomianów $P$ i $Q$ są takie same, zatem te wielomiany są równe.

---

b)

Dane są wielomiany $P$ oraz $Q$:

$P\left(x\right)=x^4+x^2+1$  oraz  $Q\left(x\right)=x^4+x^3+1$

Zauważmy, że współczynnik przy $x^3$ w wielomianie $P$ jest równy $0$, natomiast w wielomianie $Q$ jest równy $1$.

Zatem te wielomiany nie są równe.

---

c)

Dane są wielomiany $P$ oraz $Q$:

$P\left(x\right)=x^3+2x\left(x^2+x-1\right)$  oraz  $Q\left(x\right)=3x^3+2x^2-2x$

Aby rozstrzygnąć, czy te wielomiany są równe, sprawdźmy, czy współczynniki przy odpowiednich potęgach są takie same. Zapiszmy wielomian $P$ w innej postaci:

$P\left(x\right)=x^3+2x\left(x^2+x-1\right)=x^3+2x^3+2x^2-2x=3x^3+2x^2-2x$

Widzimy, że współczynniki przy odpowiednich potęgach wielomianów $P$ i $Q$ są takie same, zatem te wielomiany są równe.

---

d)

Dane są wielomiany $P$ oraz $Q$:

$P\left(x\right)=x^3+x^2-x-1$  oraz  $Q\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2$

Aby rozstrzygnąć, czy te wielomiany są równe, sprawdźmy, czy współczynniki przy odpowiednich potęgach są takie same. Zapiszmy wielomian $Q$ w innej postaci, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$Q\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2=\left(x+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=$

$=x^3-2x^2+x+x^2-2x+1=x^2-x^2-x+1$

Zauważmy, że współczynnik przy $x^2$ w wielomianie $P$ jest równy $1$, natomiast w wielomianie $Q$ jest równy $-1$.

Zatem te wielomiany nie są równe.