Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-2\left(m-3\right)x+1}{x^2+3x+m+2}$

---

Aby funkcja $f$ była określona dla każdego $x$, jej dziedziną musi być zbiór liczb rzeczywistych. Wtedy równanie

$x^2+3x+m+2=0$

nie ma pierwiastków. Zatem:

$\Delta <0$

$3^2-4\cdot 1\cdot \left(m+2\right)<0$

$9-4m-8<0$

$1-4m<0|+4m$

$1<4m|:4$

$\frac{1}{4}<m$

$m>\frac{1}{4}$

Zatem dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych, gdy:

$m\in \left(\frac{1}{4};+\infty \right)$

---

Aby funkcja $f$ miała dwa różne miejsca zerowe, równanie

$x^2-2\left(m-3\right)x+1=0$

musi mieć dwa różne miejsca zerowe. Zatem:

$\Delta >0$

${\left(-2\left(m-3\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1>0$

$4{\left(m-3\right)}^2-4>0$

$4\left(m^2-6m+9\right)-4>0$

$4m^2-24m+36-4>0$

$4m^2-24m+32>0|:4$

$m^2-6m+8>0$

W celu rozwiązania nierówności, rozwiążmy równanie pomocnicze:

$m^2-6m+8=0$

${\Delta }_m={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$

$\sqrt{{\Delta }_m}=2$

$m_1=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$

$m_2=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=m^2-6m+8$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te wartości $m$, dla których wartości funkcji są dodatnie, zatem wykres leży nad osią.

Zatem:

$m\in \left(-\infty ;2\right)\cup \left(4;+\infty \right)$

---

Zatem mamy:

$m\in \left(\frac{1}{4};+\infty \right)$  oraz  $m\in \left(-\infty ;2\right)\cup \left(4;+\infty \right)$

Zaznaczmy na osi na różowo pierwszy z przedziałów, natomiast na pomarańczowo drugi z przedziałów.

Interesuje nas część wspólna zaznaczonych przedziałów.

Wobec tego warunki zadania są spełnione, gdy:

$\underline{\underline{m\in \left(\frac{1}{4};2\right)\cup \left(4;+\infty \right)}}$