Mamy trzy roztwory, każdy zawierający...- Zadanie 179: Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Rozwiązanie

Niech:

$m_{1}$ - podana w kilogramach masa pierwszego roztworu, o stężeniu chlorku sodu $14, 1%$ i stężeniu chlorku potasu $2, 5%$

$m_{2}$ - podana w kilogramach masa drugiego roztworu, o stężeniu chlorku sodu $8, 7%$ i stężeniu chlorku potasu $8, 2%$

$m_{3}$ - podana w kilogramach masa trzeciego roztworu, o stężeniu chlorku sodu $1, 5%$ i stężeniu chlorku potasu $5, 7%$

Po zmieszaniu powyższych mas poszczególnych roztworów otrzymujemy roztwór, w którym stężenie chlorku sodu wynosi $6%$ .

Mamy zatem:

$14, 1% m_{1} + 8, 7% m_{2} + 1, 5% m_{3} = 6% (m_{1} + m_{2} + m_{3})$

$0, 141 m_{1} + 0, 087 m_{2} + 0, 015 m_{3} = 0, 06 m_{1} + 0, 06 m_{2} + 0, 06 m_{3} ∣ \cdot 1000$

$141 m_{1} + 87 m_{2} + 15 m_{3} = 60 m_{1} + 60 m_{2} + 60 m_{3} ∣ - 6 0 m_{1} - 60 m_{2}$

$81 m_{1} + 27 m_{2} + 15 m_{3} = 60 m_{3} ∣ - 15 m_{3}$

$81 m_{1} + 27 m_{2} = 45 m_{3} ∣ : 45$

$\frac{9}{5} m_{1} + \frac{3}{5} m_{2} = m_{3}$

$m_{3} = \frac{9}{5} m_{1} + \frac{3}{5} m_{2}$

Po zmieszaniu powyższych mas poszczególnych roztworów otrzymujemy roztwór, w którym stężenie potasu sodu wynosi $6%$ .

Mamy zatem:

$2, 5% m_{1} + 8, 2% m_{2} + 5, 7% m_{3} = 6% (m_{1} + m_{2} + m_{3})$

$0, 025 m_{1} + 0, 082 m_{2} + 0, 057 m_{3} = 0, 06 m_{1} + 0, 06 m_{2} + 0, 06 m_{3} ∣ \cdot 1000$

$25 m_{1} + 82 m_{2} + 57 m_{3} = 60 m_{1} + 60 m_{2} + 60 m_{3} ∣ - 60 m_{1} - 60 m_{2}$

$- 35 m_{1} + 22 m_{2} + 57 m_{3} = 60 m_{3} ∣ - 57 m_{3}$

$- 35 m_{1} + 22 m_{2} = 3 m_{3} ∣ : 3$

$- \frac{35}{3} m_{1} + \frac{22}{3} m_{2} = m_{3}$

$m_{3} = - \frac{35}{3} m_{1} + \frac{22}{3} m_{2}$

Mamy zatem, że

$m_{3} = \frac{9}{5} m_{1} + \frac{3}{5} m_{2}$ oraz $m_{3} = - \frac{35}{3} m_{1} + \frac{22}{3} m_{2}$

Wobec tego:

$\frac{9}{5} m_{1} + \frac{3}{5} m_{2} = - \frac{35}{3} m_{1} + \frac{22}{3} m_{2} ∣ \cdot 15$

$27 m_{1} + 9 m_{2} = - 175 m_{2} + 110 m_{2} ∣ - 9 m_{2} + 175 m_{1}$

$202 m_{1} = 101 m_{2} ∣ : 101$

$2 m_{1} = m_{2} ∣ : m_{2}$

$2 \frac{m _{1}}{m _{2}} = 1 ∣ : 2$

$\frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{1}{2}$

Zatem stosunek mas $m_{1}$ do $m_{2}$ wynosi $1 : 2$ .

Obliczmy stosunek mas $m_{1}$ do $m_{3}$ .

Wiemy, że:

$m_{3} = \frac{9}{5} m_{1} + \frac{3}{5} m_{2}$

Wiemy, również, że

$2 m_{1} = m_{2}$

Mamy zatem:

$m_{3} = \frac{9}{5} m_{1} + \frac{3}{5} \cdot 2 m_{1}$

$m_{3} = \frac{9}{5} m_{1} + \frac{6}{5} m_{1}$

$m_{3} = \frac{15}{5} m_{1}$

$m_{3} = 3 m_{1} ∣ : m_{3}$

$1 = 3 \frac{m _{1}}{m _{3}} ∣ : 3$

$\frac{1}{3} = \frac{m _{1}}{m _{3}}$

$\frac{m _{1}}{m _{3}} = \frac{1}{3}$

Zatem stosunek mas $m_{1}$ do $m_{3}$ wynosi $1 : 3$ .

Zatem ostatecznie otrzymujemy, że roztwory należy zmieszać w stosunku $1 : 2 : 3$ .

Katarzyna Nowocień

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda podstawiania

Premium

10:25

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda przeciwnych współczynników

10:05

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.