Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:

$f\left(x\right)=\frac{x^2+4x+5}{x^2+4x}$

---

Wyznaczmy dziedzinę funkcji $f:$

$x^2+4x\ne 0$

$x\left(x+4\right)\ne 0$

$x\ne 0\wedge x+4\ne 0$

$x\ne 0\wedge x\ne -4$

Zatem dziedziną funkcji $f$ jest:

$D_f=\mathbb{R}\setminus \left\{-4,0\right\}$

---

Zapiszmy wzór funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{x^2+4x+5}{x^2+4x}=1+\frac{5}{x^2+4x}$

Wykres funkcji $g$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[p,0\right]$.

Zatem funkcja $g$ ma wzór:

$g\left(x\right)=1+\frac{5}{{\left(x-p\right)}^2+4\left(x-p\right)}$

Wiemy, że wykres funkcji $g$ jest symetryczny względem osi $OY$, wobec tego

$g\left(x\right)=g\left(-x\right)$

Korzystając z powyższej równości, wyznaczmy współrzędną $p$ wektora przesunięcia:

$1+\frac{5}{{\left(x-p\right)}^2+4\left(x-p\right)}=1+\frac{5}{{\left(-x-p\right)}^2+4\left(-x-p\right)}|-1$

$\frac{5}{{\left(x-p\right)}^2+4\left(x-p\right)}=\frac{5}{{\left(-x-p\right)}^2+4\left(-x-p\right)}|:5$

$\frac{1}{{\left(x-p\right)}^2+4\left(x-p\right)}=\frac{1}{{\left(-x-p\right)}^2+4\left(-x-p\right)}$

Aby ułamki o tym samym liczniku były równe, muszą mieć też ten sam mianownik, zatem:

${\left(x-p\right)}^2+4\left(x-p\right)={\left(-x-p\right)}^2+4\left(-x-p\right)$

${\left(x-p\right)}^2+4\left(x-p\right)={\left(-x+(-p)\right)}^2+4\left(-x-p\right)$

$x^2-2\cdot x\cdot p+p^2+4x-4p={\left(-x\right)}^2+2\cdot \left(-x\right)\cdot \left(-p\right)+{\left(-p\right)}^2-4x-4p|+4p$

$x^2-2xp+p^2+4x=x^2+2xp+p^2-4x|-x^2-p^2$

$-2xp+4x=2xp-4x|-2xp+4x$

$-4xp+8x=0$

$-4x\left(p-2\right)=0$

$x=0\vee p-2=0$

$x=0\vee p=2$

Biorąc pod uwagę dziedzinę funkcji $f$ dostajemy, że wektor przesunięcia jest w postaci:

$\underline{\underline{\overrightarrow{v}=\left[2,0\right]}}$

---

Wyznaczmy wzór funkcji $g$:

$g\left(x\right)=1+\frac{5}{{\left(x-2\right)}^2+4\left(x-2\right)}=1+\frac{5}{x^2-2\cdot 2\cdot x+4+4x-8}=1+\frac{5}{x^2-4x+4x-4}=$

$=1+\frac{5}{x^2-4}=\frac{x^2-4+5}{x^2-4}=\frac{x^2+1}{x^2-4}$

Otrzymujemy, że 

$\underline{\underline{g(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}}}$