${\left(\frac{1}{x}-1\right)}^{-1}⩽1$

${\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x}\right)}^{-1}⩽1$

${\left(\frac{1-x}{x}\right)}^{-1}⩽1$

$\frac{x}{1-x}⩽1$

Wyznaczamy dziedzinę. Ze względu na mianownik ułamka:

$x\ne 0$

Ze względu na definicję potęgi o współczynniku ujemnym:

$1-x\ne 0$

$-x\ne -1$

$x\ne 1$

$D=\mathbb{R}\setminus \{0,1\}$

Rozwiążmy nierówność:

$\frac{x}{1-x}⩽1|\cdot (1-x{)}^2$

$x\left(1-x\right)⩽{\left(1-x\right)}^2|-(1-x{)}^2$

$x\left(1-x\right)-{\left(1-x\right)}^2⩽0$

$x\left(1-x\right)-\left(1-x\right)\left(1-x\right)⩽0$

$\left(1-x\right)\left(x-\left(1-x\right)\right)⩽0$

$\left(1-x\right)\left(x-1_{}+x\right)⩽0$

$\left(1-x\right)\cdot \left(2x-1\right)⩽0$

Rozwiążmy równanie pomocnicze:

$\left(2x-1\right)\left(1-x\right)=0$

$2x-1=0\vee 1-x=0$

$2x=1\vee x=1$

$x=\frac{1}{2}\vee x=1$

Narysujmy przybliżony wykres funkcji $f\left(x\right)=2x\left(1-x\right)$ dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0,1\right\}$. Współczynnik przy najwyższej potędze $x$ jest liczbą ujemną, zatem parabola będąca wykresem tej funkcji ma ramiona skierowana do dołu.

Biorąc pod uwagę wyznaczoną wcześniej dziedzinę $D$ otrzymujemy, że rozwiązaniem wyjściowej nierówności jest

$x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;\frac{1}{2}\right]\cup \left(1;+\infty \right)$