Dane jest równanie:

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\dots +3n+\left(3n+1\right)=232$

Lewa strona powyższej równości to suma ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$, w którym pierwszy wyraz ciągu to $a_1=n$, ostatni wyraz to $a_k=3n+1$, a różnica ciągu to $r=1$. Obliczmy, z ilu wyrazów tego ciągu składa się ta suma. Mamy:

$a_k=a_1+\left(k-1\right)\cdot r$

$3n+1=n+\left(k-1\right)\cdot 1$

$3n+1=n+k-1|-n$

$2n+1=k-1|+1$

$2n+2=k$

$k=2n+2$

Wobec tego otrzymaliśmy, że suma w liczniku rozważanego ułamka to suma $2n+2$ liczb nieparzystych naturalnych. Obliczmy tę sumę korzystając z wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\dots +3n+\left(3n+1\right)=\frac{a_1+a_k}{2}\cdot \left(2n+2\right)=$

$=\frac{n+3n+1}{2}\cdot \left(2n+2\right)=\frac{4n+1}{2}\cdot \left(2n+2\right)$

Zapiszmy wyjściowe równanie używając obliczonej wartości sumy:

$n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\dots +3n+\left(3n+1\right)=232$

$\frac{4n+1}{2}\cdot \left(2n+2\right)=232|\cdot 2$

$\left(4n+1\right)\left(2n+2\right)=464$

$8n^2+8n+2n+2=464|-464$

$8n^2+10n-462=0$

$\Delta =10^2-4\cdot 8\cdot \left(-462\right)=100+14784=14884$

$\sqrt{\Delta }=122$

$n_1=\frac{-10-122}{2\cdot 8}<0$

$n_2=\frac{-10+122}{1\cdot 8}=\frac{112}{16}=7$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{n=7}}$