Dany jest ciąg:

$\left(\mathrm{tg}\alpha ,\sin \alpha ,{\cos }^2\alpha \right)$

gdzie:

$\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Jeżeli podane liczby tworzą ciąg geometryczny, to:

${\sin }^2\alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot {\cos }^2\alpha$

${\sin }^2\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot {\cos }^2\alpha$

${\sin }^2\alpha =\sin \alpha \cos \alpha |-\sin \alpha \cos \alpha$

${\sin }^2\alpha -\sin \alpha \cos \alpha =0$

$\sin \alpha \left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)=0$

$\sin \alpha =0\vee \sin \alpha -\cos \alpha =0$

---

Jeżeli $\sin \alpha =0$, to:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{0}{\cos \alpha }=0$

${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-0^2=1-0=1$

Wtedy podane liczby tworzą ciąg w postaci:

$\left(0,0,1\right)$

Ten ciąg nie jest geometryczny, zatem $\sin \alpha =0$ nie spełnia warunków zadania.

---

Rozwiążmy równanie:

$\sin \alpha -\cos \alpha =0$

$\sin \alpha -\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=0$

$2\cos \frac{\alpha +\frac{\pi }{2}-\alpha }{2}\sin \frac{\alpha -\frac{\pi }{2}+\alpha }{2}=0$

$2\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{2\alpha -\frac{\pi }{2}}{2}=0$

$2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=0$

$\sqrt{2}\cdot \sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=0|:\sqrt{2}$

$\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=0$

Zauważmy, że:

$\sin 0=0$

$\sin \pi =0$

Funkcja $y=\sin x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$\alpha -\frac{\pi }{4}=2k\pi$ lub $\alpha -\frac{\pi }{4}=\pi +2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Wobec tego możemy zapisać, że $\sin x=0$ gdy:

$\alpha -\frac{\pi }{4}=k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

$\alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Zatem podany ciąg jest geometryczny, gdy:

$\underline{\underline{\alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi \text{dla}k\in \mathbb{Z}}}$