Pan Nowak zaciągnął...- Zadanie 566: Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Rozwiązanie

Pan Nowak wziął kredyt w wysokości $15000 z ł$ z oprocentowaniem $12%$ w skali roku, którego spłata rozłożona była na $12$ rat.

Rata kredytu w $n$ -tym miesiącu składała się z $\frac{1}{12}$ pożyczonej kwoty oraz odsetek naliczonych w danym miesiącu naliczonych od kwoty pozostałej do spłaty. Zatem kwotę $n$ -tej raty opisuje ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o wyrazie ogólnym w postaci:

$a_{n} = \frac{1}{12} \cdot 15000 + 0, 12 \cdot \frac{15 000 - \frac{15000}{12} ( n - 1 )}{12}$

Obliczmy wysokość pierwszej raty. Mamy:

$a_{1} = \frac{1}{12} \cdot 15000 + 0, 12 \cdot \frac{15 000}{12} = 1250 + 0, 01 \cdot 15000 = 1250 + 150 = 1400 [z ł]$

Zatem:

$\underline{\underline{a_{1} = 1400 [z ł]}}$

Obliczmy wysokość drugiej raty. Mamy:

$a_{2} = \frac{1}{12} \cdot 15000 + 0, 12 \cdot \frac{15 000 - \frac{15000}{12}}{12} = 1250 + 0, 01 \cdot 13750 =$

$= 1250 + 137, 5 = 1387, 50 [z ł]$

Zatem:

$\underline{\underline{a_{2} = 1387, 50 [z ł]}}$

Obliczmy wysokość ostatniej raty. Mamy:

$a_{12} = \frac{1}{12} \cdot 15000 + 0, 12 \cdot \frac{15 000 - \frac{15000}{12} \cdot 11}{12} = 1250 + 0, 01 \cdot (15000 - 13750) =$

$= 1250 + 0, 01 \cdot 1250 = 1250 + 12, 5 = 1262, 50 [z ł]$

Zatem wysokość ostatniej raty wynosiła:

$\underline{\underline{a_{12} = 1262, 50 [z ł]}}$

Obliczmy łączną kwotę odsetek. Mamy:

$0, 12 \cdot \frac{15 000 - \frac{15000}{12}}{12} + 0, 12 \cdot \frac{15 000 - \frac{15000}{12} \cdot 2}{12} + \dots + 0, 12 \cdot \frac{15 000 - \frac{15000}{12} \cdot 11}{12} =$