Dane są liczby a i b...- Zadanie 1: Nowa matura z matematyki. Arkusze. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

DEFINICJA LOGARYTMU

Niech $a$ i $b$ będą liczbami dodatnimi oraz $a \neq = 1 .$ Mamy:

$lo g_{a} b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{c} = b$

co równoważnie możemy zapisać jako:

$a^{l o g_{a} b} = b$

ZAMIANA PODSTAWY LOGARYTMU

Jeżeli $a > 0, a \neq = 1, b > 0, b \neq = 1$ oraz $c > 0,$ to:

$lo g_{b} c = \frac{lo g _{a} c}{lo g _{a} b}$

Dane są liczby:

$a = (\frac{9 ^{- 18} + 9 ^{- 16}}{82})^{\frac{1}{9}}$
$b = lo g_{9} 64 - lo g_{27} 64$

Wyznaczmy wartość liczby $a .$ Mamy:

$a = (\frac{9 ^{- 18} + 9 ^{- 16}}{82})^{\frac{1}{9}} = (\frac{9 ^{- 18} + 9 ^{2} \cdot 9 ^{- 18}}{82})^{\frac{1}{9}} = (\frac{9 ^{- 18} \cdot ( 1 + 9 ^{2} )}{82})^{\frac{1}{9}} = (\frac{9 ^{- 18} \cdot 82}{82})^{\frac{1}{9}} =$

$= (9^{- 18})^{\frac{1}{9}} = 9^{- 18 \cdot \frac{1}{9}} = 9^{- 2}$

Wyznaczmy wartość liczby $b .$ Mamy:

$b = lo g_{9} 64 - lo g_{27} 64 = \dots$

Korzystając ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu dla liczby $lo g_{27} 64$ mamy:

$\dots = lo g_{9} 64 - \frac{lo g _{9} 64}{lo g _{9} 27} = lo g_{9} 64 - \frac{lo g _{9} 64}{lo g _{9} 9 ^{\frac{3}{2}}} = lo g_{9} 64 - \frac{lo g _{9} 64}{\frac{3}{2}} = lo g_{9} 64 - \frac{2}{3} lo g_{9} 64 =$