Funkcja $f\left(x\right)=x^2-13x+k$ ma dwa różne miejsca zerowe - $x_1$ oraz $x_2$. Oznacza to, że wyróżnik $\Delta$ trójmianu kwadratowego $x^2-13x+k$ jest liczbą dodatnią.

Miejscami zerowymi funkcji $g\left(x\right)=x^2+px+q$ są $\sqrt{x_1}$ oraz $\sqrt{x_2}$. Przypomnijmy, że wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem kwadratowym jest nieujemne, zatem liczby $x_1$oraz $x_2$ są nieujemne. Suma i iloczyn dwóch liczb nieujemnych są liczbami nieujemnymi.

Zapiszmy warunki, jakie powinien spełniać parametr $k$.

$\{\begin{array}{l}\Delta >0(1)\\ x_1+x_2⩾0(2)\\ x_1\cdot x_2⩾0(3)\end{array}$ 

---

Z warunku $\left(1\right)$ otrzymujemy nierówność:

${\left(-13\right)}^2-4\cdot 1\cdot k>0$

$169-4k>0|-169$

$-4k>-169|:(-4)$

$k<\frac{169}{4}$

$k<42\frac{1}{4}$

Czyli:

$k\in \left(-\infty ;42\frac{1}{4}\right)$

---

Przy rozwiązywaniu nierówności $\left(2\right)$ oraz $\left(3\right)$ skorzystamy ze wzorów Viète'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

---

Z warunku $\left(2\right)$ dostajemy:

$-\frac{-13}{1}⩾0$

$13⩾0$

Powyższa nierówność jest prawdziwa, więc warunek $\left(2\right)$ jest spełniony przez każdą liczbę rzeczywistą $k$, czyli

$k\in \mathbb{R}$

---

Z warunku $\left(3\right)$ mamy:

$\frac{k}{1}⩾0$

$k⩾0$

Stąd otrzymujemy, że 

$k\in ⟨0;+\infty )$

---

Na jednej osi zaznaczmy zbiory rozwiązań warunków $\left(1\right)-\left(3\right)$.

Parametr $k$ musi spełniać wszystkie trzy warunki jednocześnie, więc interesuje nas część wspólna zaznaczonych przedziałów. Zatem:

$k\in ⟨0;42\frac{1}{4})$

---

Ponownie skorzystamy ze wzorów Viète'a. Tym razem wyznaczmy sumę i iloczyn miejsc zerowych funkcji $g$.

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=-p$,  więc  $p=-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)$

$\sqrt{x_1}\cdot \sqrt{x_2}=q$, więc  $q=\sqrt{x_1{x}_2}$

Podstawiając powyższe wyrażenia do warunku $p^2+2q=37$, otrzymujemy:

${\left(-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\right)}^2+2\cdot \sqrt{x_1{x}_2}=37$

${\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)}^2+2\sqrt{x_1{x}_2}=37$

${\left(\sqrt{x_1}\right)}^2+2\sqrt{x_1{x}_2}+{\left(\sqrt{x_2}\right)}^2+2\sqrt{x_1{x}_2}=37$

$x_1+x_2+4\sqrt{x_1{x}_2}=37$

Wobec tego:

$-\frac{-13}{1}+4\cdot \sqrt{\frac{k}{1}}=37$

$13+4\sqrt{k}=37$

$13+4\sqrt{k}=37|-13$

$4\sqrt{k}=24|:4$

$\sqrt{k}=6$

$k=36$

---

Liczba $36$ należy do przedziału $⟨0;42\frac{1}{4})$, zatem ostatecznie otrzymujemy, że:

$k=36$

---

Odp. $k=36$