Doświadczenie polega na...- Zadanie 11: Nowa matura z matematyki. Arkusze. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE

Niech $A$ oraz $B$ będą zdarzeniami losowymi zawartymi w $Ω,$ przy czym $P (B) > 0 .$ Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B,$ określone jest wzorem:

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$

SCHEMAT BERNOULLEGO

W schemacie $n$ prób Bernoullego prawdopodobieństwo otrzymania $k$ sukcesów określone jest wzorem:

$P_{n} (k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}, k = 0, 1, 2, \dots, n$

gdzie $p$ oznacza prawdopodobieństwo sukcesu, a $q = 1 - p$ oznacza prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.

Doświadczenie losowe polega na dwunastokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Wyznaczymy prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadło sześć oczek, jeśli wiadomo, że w tych dwunastu rzutach, sześć oczek wypadło dokładnie cztery razy.

Niech jednokrotny rzut kostką będzie pojedynczą próbą Bernoullego. Wykonano dwanaście takich rzutów, czyli wykonano dwanaście prób Bernoullego. Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi $p = \frac{1}{6},$ a prawdopodobieństwo porażki - $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} .$

Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że w pierwszym rzucie wypadło sześć oczek.

Niech $B$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że w dwunastu rzutach kostką sześć oczek wypadło dokładnie cztery razy.

Wtedy $A \cap B$ jest zdarzeniem polegającym na tym, że w pierwszym rzucie wypadło sześć oczek, a w pozostałych jedenastu rzutach sześć oczek wypadło dokładnie trzy razy.

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia $B .$ Korzystając ze schematu Bernoullego mamy:

$P (B) = (4 12) \cdot (\frac{1}{6})^{4} \cdot (\frac{5}{6})^{8} = \frac{12 !}{4 ! \cdot 8 !} \cdot (\frac{1}{6})^{4} \cdot (\frac{5}{6})^{8} =$

$= \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 !}{24 \cdot 8 !} \cdot (\frac{1}{6})^{4} \cdot (\frac{5}{6})^{8} = 495 \cdot (\frac{1}{6})^{4} \cdot (\frac{5}{6})^{8}$

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia $A \cap B .$ Korzystając ze schematu Bernoullego mamy:

$P (A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot (3 11) \cdot (\frac{1}{6})^{3} \cdot (\frac{5}{6})^{8} = \frac{11 !}{3 ! \cdot 8 !} \cdot (\frac{1}{6})^{4} \cdot (\frac{5}{6})^{8} =$

$= \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 !}{6 \cdot 8 !} \cdot (\frac{1}{4})^{4} \cdot (\frac{5}{6})^{8} = 165 \cdot (\frac{1}{6})^{4} \cdot (\frac{5}{6})^{8}$

Wyznaczmy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $B .$ Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe mamy:

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{165 \cdot ( \frac{1}{6} ) ^{4} \cdot ( \frac{5}{6} ) ^{8}}{495 \cdot ( \frac{1}{6} ) ^{4} \cdot ( \frac{5}{6} ) ^{8}} = \frac{165}{496} = \frac{1}{3}$

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadło sześć oczek, jeżeli wiadomo, że w dwunastu rzutach sześć oczek wypadło cztery razy wynosi $\frac{1}{3} .$