Treść:

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $3n^2+4n+1$ jest podzielna przez $4$.

---

Rozwiązanie

Założenia:

$n\in \mathbb{Z}$

$n=2k+1,k\in \mathbb{Z}$ (liczba $n$ jest liczbą nieparzystą)

Teza:

$3n^2+4n+1=4\cdot m,m\in \mathbb{Z}$ (dana liczba dzieli się przez $4$)

Dowód:

$3n^2+4n+1=$

$=3\cdot {\left(2k+1\right)}^2+4\cdot \left(2k+1\right)+1=$

$=3\cdot \left(4k^2+4k+1\right)+8k+4+1=$

$=12k^2+12k+3+8k+4+1=$

$=12k^2+20k+8=$

$=4\cdot \underset{m}{\underbrace{\left(3k^2+5k+2\right)}}=4\cdot m$

Daną liczbę przedstawiliśmy w postaci iloczynu liczby $4$ oraz pewnej liczby całkowitej - a więc dana liczba jest podzielna przez $4$, co należało wykazać.