Założenia

Obwód trapezu jest równy l.

Przekątna AC ma długość d.

Trapez jest wpisany w okrąg i opisany na okręgu.

Teza:

Promień okręgu opisanego na trapezie ma długość

$R=\frac{d\cdot l}{2\sqrt{16d^2-l^2}}$

---

Dowód:

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Skoro na trapezie można opisać okrąg, to ten trapez jest równoramienny.

Skoro w trapez można wpisać okrąg, to sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są sobie równe, czyli

$a+b=c+c$  

Stąd

$a+b=2c$  

Wtedy obwód trapezu l możemy zapisać jako:

$l=a+b+2c=\underset{a+b}{\underbrace{2c}}+2c=4c$  

Czyli

$4c=l\mid :4$  

Ramię trapezu ma długość

$c=\underline{\underline{\frac{1}{4}l}}$  

Z równania 

$a+b=2c$  

Wynika, że

$c=\frac{a+b}{2}$  

Czyli

$\frac{a+b}{2}=\frac{1}{4}l$  

---

Zauważmy, że skoro trapez ABCD jest równoramienny, to wysokość CE odcina na dłużej podstawie trapezu odcinek BE o długości

$\left|BE\right|=\frac{a-b}{2}$  

To oznacza, że

$\left|AE\right|=a-\frac{a-b}{2}=\frac{2a-a+b}{2}=\frac{a+b}{2}=\frac{1}{4}l$  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AEC mamy

${\left|AE\right|}^2+h^2=d^2$  

${\left(\frac{1}{4}l\right)}^2+h^2=d^2$  

$\frac{1}{16}{l}^2+h^2=d^2\mid \cdot 16$  

$l^2+16h^2=16d^2$  

$16h^2=16d^2-l^2\mid :16$  

$h^2=\frac{16d^2-l^2}{16}\wedge h>0$  

Stąd

$h=\sqrt{\frac{16d^2-l^2}{16}}=\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{4}$  

---

Korzystamy z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym AEC i otrzymujemy, że

$\sin \alpha =\frac{h}{d}=\frac{\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{4}}{d}=\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{4}\cdot \frac{1}{d}=\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{4d}$  

Przypomnijmy, że

$c=\frac{1}{4}l$  

Okrąg opisany na trapezie ABCD jest jednocześnie okręgiem opisanym  na trójkącie ABC. Z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC otrzymujemy:

$\frac{c}{\sin \alpha }=2R$  

Czyli

$2R=\frac{c}{\sin \alpha }\mid :2$  

$R=\frac{c}{2\sin \alpha }=\frac{\frac{1}{4}l}{{\cancel{2}}^1\cdot \frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{{\cancel{4}}_{2}d}}=\frac{\frac{l}{4}}{\frac{\sqrt{16d^2-l^2}}{2d}}=\frac{l}{{\cancel{4}}_2}\cdot \frac{{\cancel{2}}^{1}d}{\sqrt{16d^2-l^2}}=\underline{\underline{\frac{d\cdot l}{2\sqrt{16d^2-l^2}}}}$  

co należało wykazać.