Przedstaw dane wyrażenie za pomocą a i b, jeśli...- Zadanie 13: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Prawa działań na logarytmach

Jeżeli a, b, x, y są liczbami dodatnimi oraz a≠ 1, to:

$1 . lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$

$2 . lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$

$3 . lo g_{a} x^{p} = p \cdot lo g_{a} x, gdzie p \in R$

$4 . lo g_{b} x = \frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} b}, dla b \neq = 1$

Wiadomo, że

$a = lo g_{3} 4, b = lo g_{2} 5$

Mamy przedstawić dane wyrażenie za pomocą a i b. Korzystamy z praw działań na logarytmach:

$lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 4 - lo g_{4} 100 = 4 lo g_{3} 5^{1} \cdot \frac{lo g _{3} 4}{lo g _{3} 5 _{1}} - \frac{lo g _{2} 100}{lo g _{2} 4} = a lo g_{3} 4 - \frac{lo g _{2} 100}{2} =$

$= a - \frac{1}{2} lo g_{2} 100 = 3 a - lo g_{2} 100^{\frac{1}{2}} = a - lo g_{2} 10 = a - lo g_{2} (5 \cdot 2) = 1$

$= a - b lo g_{2} 5 + 1 lo g_{2} 2 = \underline{\underline{a - b - 1}}$

Mamy przedstawić dane wyrażenie za pomocą a i b. Korzystamy z praw działań na logarytmach:

$lo g_{9} 49 \cdot lo g_{7} 12 - 3 lo g_{2} 5 5 = \dots$

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu - wzór (4) i otrzymujemy:

$\dots = 3 \frac{lo g _{7} 49}{lo g _{7} 9} \cdot lo g_{7} 12 - 3 \cdot \frac{lo g _{2} 5 5}{lo g _{2} 2} = \frac{2}{lo g _{7} 3 ^{2}} \cdot lo g_{7} 12 - 3 \cdot \frac{lo g _{2} 5 ^{\frac{3}{2}}}{lo g _{2} 2 ^{\frac{1}{2}}} = 3$

$= \frac{2 ^{1}}{2 _{1} lo g _{7} 3} \cdot lo g_{7} 12 - 3 \cdot \frac{\frac{3}{2} \cdot lo g _{2} 5 b}{\frac{1}{2} \cdot 1 lo g _{2} 2} = \frac{lo g _{7} 12}{lo g _{7} 3} - 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot b \cdot 2 = \dots$