Trzy ścieżki poprowadzono po liniach prostych...- Zadanie 9: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Trzy ścieżki tworzą trójkąt równoboczny ABC o boki 8km.

Biegacz startuje z wierzchołka A w kierunku wierzchołka C i biegnie z prędkością 8 km/h. Po przebiegnięciu 8 km kończy bieg.
Pieszy startuje z wierzchołka B w kierunku wierzchołka A i idzie godzinę z prędkością 4 km/h.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Długości odcinków BQ i AP opisują drogę, jaką pokonają odpowiednio biegacz i pieszy w czasie t. Ze wzoru na drogę: s=v∙t otrzymujemy:

$∣ BQ ∣ = 4 t, ∣ A P ∣ = 8 t$

gdzie

$t \in [0; 1]$

To oznacza również, że

$∣ A Q ∣ = 8 - 4 t$

Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie APQ i zapisujemy w zależności od t długość odcinka PQ.

$d^{2} = (8 t)^{2} + (8 - 4 t)^{2} - 2 \cdot 8 t \cdot (8 - 4 t) \cdot cos 6 0^{\circ}$

$d^{2} = 64 t^{2} + 64 - 64 t + 16 t^{2} - 16 t (8 - 4 t) \cdot \frac{1}{2}$

$d^{2} = 80 t^{2} - 64 t + 64 - 8 t (8 - 4 t)$

$d^{2} = 80 t^{2} - 64 t + 64 - 64 t + 32 t^{2}$

$d^{2} = 112 t^{2} - 128 t + 64$

$d^{2} = 16 (7 t^{2} - 8 t + 4)$

Zatem

$d = 4 7 t^{2} - 8 t + 4$

To oznacza, że odległość pieszego od biegacza opisuje funkcja

$d (t) = 4 7 t^{2} - 8 t + 4$

której dziedziną jest

$D : t \in [0; 1]$

Wyznaczymy teraz argument, dla którego funkcja d osiąga wartość najmniejszą.

Zauważmy, że

$d (t) = 4 f (t)$

gdzie

$f (t) = 7 t^{2} - 8 t + 4, t \in [0; 1]$

Funkcja

$y = 4 x$

jest rosnąca, co oznacza, że funkcje f i d mają takie same przedziały monotoniczności i przyjmują wartość najmniejszą dla takiego samego argumentu.

Wyznaczamy pochodną funkcji f.

$f^{'} (t) = 7 \cdot 2 t - 8 = 14 t - 8$

Obliczamy miejsca zerowe pochodnej.

$f^{'} (t) = 0 ⟺ 14 t - 8 = 0$

$14 t = 8 ∣ : 14$

$t = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$

Ze wzoru pochodnej wynika, że

$f^{'} (t) < 0 dla t \in [0, \frac{4}{7})$

$f^{'} (t) > 0 dla t \in (\frac{4}{7}; 1]$

Stąd wnioskujemy że funkcja f jest malejąca na przedziale [0; ⁴/₇] i rosnąca na przedziale [⁴/₇; 1]. Stąd wnioskujemy, że funkcja f osiąga minimum lokalne dla

$t = \frac{4}{7}$

Otrzymane maksimum jest jedynym ekstremum funkcji f, zatem dla t=⁴/₇ funkcja f osiąga wartość najmniejszą.

Stąd wnioskujemy, że funkcja d również osiąga wartość najmniejszą dla

$t = \frac{4}{7}$

Obliczamy najmniejszą wartość funkcji d.

$d_{min} = d (t = \frac{4}{7}) = 4 7 \cdot (\frac{4}{7})^{2} - 8 \cdot \frac{4}{7} + 4 =$

$= 4 7^{1} \frac{16}{49 _{7}} - \frac{32}{7} + 4 = 4 \frac{16}{7} - \frac{32}{7} + \frac{28}{7} = 4 \frac{12}{7} = 4 \cdot 2 \frac{3}{7} = \underline{\underline{8 \frac{3}{7}}} [km]$