Teza:

Suma czterech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, jest liczbą podzielną przez 100

---

Dowód:

Niech 

$n\in \mathbb{N}$

Liczbę naturalną, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1 możemy zapisać w postaci 5n+1. Wtedy cztery  kolejne liczby naturalne, wśród których najmniejszą jest 5n+1, to

$5n+1,5n+2,5n+3,5n+4$

Zapisujemy sumę sześcianów tych liczb. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy:

${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

Mamy:

${\left(5n+1^{}\right)}^3={\left(5n\right)}^3+3\cdot {\left(5n\right)}^2\cdot 1+3\cdot 5n\cdot 1^2+1^3=125n^3+75n^2+15n+1$

${\left(5n+2^{}\right)}^3={\left(5n\right)}^3+3\cdot {\left(5n\right)}^2\cdot 2+3\cdot 5n\cdot 2^2+2^3=125n^3+150n^2+60n+8$ 

${\left(5n+3^{}\right)}^3={\left(5n\right)}^3+3\cdot {\left(5n\right)}^2\cdot 3+3\cdot 5n\cdot 3^2+3^3=125n^3+225n^2+135n+27$

${\left(5n+4\right)}^3={\left(5n\right)}^3+3\cdot {\left(5n\right)}^2\cdot 4+3\cdot 5n\cdot 4^2+4^3=125n^3+300n^2+240n+64$ 

---

Zatem

${\left(5n+1\right)}^3+{\left(5n+2\right)}^3+{\left(5n+3\right)}^3+{\left(5n+4\right)}^3=$

$=125n^3+75n^2+15n+1+125n^3+150n^2+60n+8+125n^3+225n^2+135n+27+125n^3+300n^2+240n+64=$

$=500n^3+750n^2+450n+100=500n^3+100+750n^2+450n=$

$=100\left(5n^3+1\right)+50n\left(15n+9\right)$

---

Zauważmy, że liczba 100(5n³+1) jest podzielna przez 100. 

Liczba 50n(15n+9) jest podzielna przez 50. Jeśli liczba n jest parzysta to (15n+9) jest liczbą nieparzystą. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to 15n jest liczbą nieparzystą, czyli 15n+9 jest liczbą parzystą (jako suma liczb nieparzystych). To oznacza, że liczba n(15n+9) jest parzysta dla dowolnego n (jako iloczyn liczby parzystej i nieparzystej).

Stąd mamy, że liczba 50n(15n+9) jest iloczynem liczby 50 i liczby podzielnej przez 2, zatem jest podzielna przez 100. 

Suma liczb podzielnych przez 100 jest podzielna przez 100. To oznacza, że suma sześcianów jest podzielna przez 100,

co należało wykazać.