Założenia:

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Teza:

$\frac{9x^4+1}{x^2}\ge 6$

---

Dowód:

Przekształcamy nierówność z tezy w sposób równoważny:

$\frac{9x^4+1}{x^2}\ge 6\mid \cdot x^2>0$

  $9x^4+1\ge 6x^2$   

$9x^4-6x^2+1\ge 0$  

Lewą stronę nierówności zapisujemy jako kwadrat różnicy:

$\underset{9x^4}{\underbrace{{\left(3x^2\right)}^2}}-\underset{6x^2}{\underbrace{2\cdot 3x^2\cdot 1}}+1\ge 0$  

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

${\left(3x^2-1\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, co oznacza, że powyższa nierówność jest prawdziwa. To kończy dowód. ▊