Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów $4.{\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$   -  sześcian sumy $5.{\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$   -  sześcian różnicy

---

Pokażemy, że liczba   $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$   jest całkowita.

Dowód:

Niech 

$a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$  

Powyższą równość podnosimy obustronnie do potęgi trzeciej i otrzymujemy:

$a^3={\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\right)}^3$   

Ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy mamy:

$a^3={\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\right)}^3-3\cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\right)}^2\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}+3\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\right)}^2-$   

$-{\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\right)}^3$  

$a^3=\sqrt{5}+2-3\cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}+3\cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}-\left(\sqrt{5}-2\right)$  

$a^3=\cancel{\sqrt{5}}+2-3\cdot \sqrt[3]{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}+3\cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot {\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}-\cancel{\sqrt{5}}+2$   

Zauważmy, że:

• $\sqrt[3]{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}=\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot \left(\sqrt{5}+2\right)\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}\stackrel{3}{=}$  

$=\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot \left({\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2\right)}=\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot 1}=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}$  

 

• $\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot {\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}=\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\stackrel{3}{=}$  

$=\sqrt[3]{\left({\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2\right)\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}=\sqrt[3]{1\cdot \left(\sqrt{5}-2\right)}=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$  

Zatem powyższa równość sprowadza się do postaci:

$a^3=4-3\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+3\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$  

Stąd

$a^3=4-3\left(\underset{a}{\underbrace{\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}}}\right)$  

Zatem otrzymaliśmy równanie:

$a^3=4-3a$  

Pokażemy, że jedynym rozwiązaniem równania jest liczba całkowita.

$a^3+3a-4=0$

$a^3+\underset{3a}{\underbrace{4a-a}}-4=0$  

$a^3-a+4a-4=0$  

Grupujemy wyrazy i  otrzymujemy:

$a\left(a^2-1\right)+4\left(a-1\right)=0$  

Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (2)  mamy:

$a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+4\left(a-1\right)=0$  

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i dostajemy:

$\left(a-1\right)\left[a\left(a+1\right)+4\right]=0$  

$\left(a-1\right)\left(a^2+a+4\right)=0$  

Stąd

$\left(a-1\right)=0\vee a^2+a+4=0$  

$a=1\vee \Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 4$  

$=1-16=-15<0$  

   równanie sprzeczne

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest 

$a=1$  

Oznacza to, że

  $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=1\in \mathbb{Z}$  

Pokazaliśmy, że  liczba  $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$  jest równa 1, czyli jest to liczba całkowita. ▊