Spośród czterech liczb: a, b, c, d wybieramy ...- Zadanie 83: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Prawa działań na logarytmach

Jeżeli a, b, x są liczbami dodatnimi oraz a≠ 1, to:

$lo g_{a} x^{p} = p \cdot lo g_{a} x, gdzie p \in R$

$lo g_{b} x = \frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} b} dla b \neq = 1$

$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a} dla b \neq = 1$

Rozważamy cztery liczby: a, b, c, d. Korzystamy z praw działań na logarytmach i sprowadzamy liczby a, b, c, d do najprostszej postaci.

$a = lo g_{3} (lo g_{2} 32) = lo g_{3} (lo g_{2} 2^{\frac{1}{3}}) = lo g_{3} (\frac{1}{3} lo g_{2} 2) = lo g_{3} \frac{1}{3} = \underline{\underline{- 1}} \in Z$

$b = lo g_{3} 39 \cdot lo g_{2} 8 = lo g_{3} 3 3^{2} \cdot lo g_{2} 2^{3} = lo g_{3} 3^{\frac{2}{3}} \cdot lo g_{2} 2^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \cdot lo g_{3} 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot lo g_{2} 2 =$

$= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = \underline{\underline{1}} \in Z$

$c = lo g_{5} 4 \cdot lo g_{2} 5 + lo g_{2} 3 = \dots$

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

$\dots = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} 5} \cdot lo g_{2} 5 + lo g_{2} 3 = lo g_{2} 4 + lo g_{2} 3 = 2 + lo g_{2} 3 \in / Z$

Liczba c nie jest liczbą całkowitą, ponieważ log₂3 nie jest liczbą całkowitą.

Obliczamy liczbę d. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

$d = \frac{lo g _{3} 7}{lo g _{9} 7} = lo g_{3} 7 \cdot \frac{1}{lo g _{9} 7} = lo g_{3} 7 \cdot lo g_{7} 9 = lo g_{3} 7 \cdot \frac{lo g _{3} 9}{lo g _{3} 7} = lo g_{3} 9 = \underline{\underline{2}} \in Z$