Objętość zbiornika, który ma kształt prostopadłościanu, ma być równa

$V=144{\text{m}}^3$

Dno zbiornika ma być kwadratem. Oznaczmy długość boku kwadratu przez a.  Niech H będzie wysokością zbiornika. 

 

Korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu mamy, że

$V=a^{}\cdot a\cdot H=a^2\cdot H$

Z drugiej strony wiemy, że objętość jest równa 144 m³. Stąd wyznaczamy H w zależności od a. 

$a^2\cdot H=144{|:a}^2$

$H=\frac{144}{a^2}$

 Żadna krawędź prostopadłościanu nie może być dłuższa niż 9 m. To oznacza, że

$\begin{array}{cccccc}a>0& \wedge & a\le 9& \wedge & \frac{144}{a^2}\le 9& \\ & & & & 144\le 9a^2& \\ & & & & a^2\ge 16& \\ & & & & a\ge 4& \end{array}$

Dziedziną funkcji f jest część wspólna zbiorów rozwiązań nierówności. Zatem

$D=\left[4;9\right]$

Zbiornik składa się z dna (podstawy) i czterech identycznych ścian bocznych. Obliczamy pola tych ścian w zależności od a.

$P_p=a^2$

$P_b=4\cdot P_s=4\cdot a\cdot \frac{144}{a^2}=\frac{576}{a}$

Oznaczmy przez f funkcję opisującą koszt bodowy zbiornika. Wiemy, że 

• wykonanie 1 m² dna kosztuje 100 zł,
• wykonanie 1 m² ściany bocznej kosztuje 75 zł.

Zapisujemy wzór funkcji f. 

$f\left(a\right)=100\cdot a^2+75\cdot \frac{576}{a}=100a^2+\frac{43200}{a}$

Wyznaczamy pochodną funkcji f. 

$f^{\prime }\left(a\right)={\left(100a^2+\frac{43200}{a}\right)}^{\prime }=100\cdot 2a-\frac{43200}{a^2}=\frac{200a^3-43200}{a^2}$

Obliczamy miejsca zerowe pochodnej.

$f^{\prime }\left(a\right)=0⟺\frac{200a^3-43200}{a^2}=0$

Stąd

$200a^3-43200=0|:200$

$a^3-216=0$

$a^3=216$

Zatem

$a=6\in D$

Otrzymaliśmy, że pochodna funkcji f ma jedno miejsce zerowe. Zauważmy, że mianownik we wzorze pochodnej jest dodatni dla dowolnej liczby a z dziedziny funkcji. To oznacza, że znak pochodnej zależy od znaku licznika, czyli od y=200a³-43200.

Sporządzamy szkic znakowy pochodnej.

Rysunek:

Z rysunku odczytujemy, dla jakich argumentów pochodna funkcji f przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich argumentów wartości ujemne.  Sporządzamy tabelę zmienności funkcji f.

$a$	$\left[4;6\right)$	$6$	$\left(6;9\right]$
$f^{\prime }\left(a\right)$	$-$	$0$	$+$
$f\left(a\right)$	$\searrow$	$\text{min}$	$\nearrow$

Odczytujemy z tabeli, że funkcja f osiąga minimum lokalne dla a=6. Jest to jedyne ekstremum tej funkcji, tym samym to minimum jest jednocześnie najmniejszą wartością funkcji f. 

Zatem krawędź dna zbiornika ma długość

$a=6\text{m}$

Wyznaczamy wysokość zbiornika. 

$H=\frac{144}{a^2}=\frac{144}{6^2}=\frac{144}{36}=4\text{m}$

Odp. Zbiornik, którego koszt wykonania jest najmniejszy, ma wymiary 6 m x 6 m x 4 m.