Informacja do zadań 51.1 i 51.2:

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których suma długości krawędzi jest równa 80, a pole powierzchni całkowitej jest równe 256. Wiemy również, że każda z krawędzi bryły nie jest krótsza niż 4.

---

Oznaczmy przez a, b, c długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka. Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Korzystamy z rysunku i zapisujemy sumę długości wszystkich krawędzi.

$4a+4b+4c=80$

Powierzchnia całkowita prostopadłościanu składa się trzech par prostokątów. Pole powierzchni całkowitej jest równe:

$2ab+2bc+2ca=256$

Otrzymaliśmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}4a+4b+4c=80|:4\\ 2ab+2bc+2ca=256|:2\end{array}$

Mamy pokazać, że układ z niewiadomymi a i b ma rozwiązanie, gdy

$c\in \left[4;\frac{28}{3}\right]$

---

Dowód:

Rozwiązujemy układ równań, jako niewiadome przyjmujemy a i b. 

$\{\begin{array}{l}a+b+c=20\\ ab+bc+ca=128\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=20-a-c\\ a\left(20-a-c\right)+\left(20-a-c\right)c+c\cdot a=128\end{array}$

Rozwiązujemy drugie równanie układu z niewiadomą a.

$20a-a^2-ac+20c-ac-c^2+ac=128$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z niewiadomą a. 

$-a^2+\left(20-c\right)a-c^2+20c-128=0$

${\Delta }_a={\left(20-c\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-c^2+20c-128\right)=$

${\Delta }_a=400-40c+c^2-4c^2+80c-512=-3c^2+40c-112$

Aby równanie miało rozwiązanie, zakładamy, że

${\Delta }_a\ge 0$

Czyli

$-3c^2+40c-112\ge 0$

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową ze zmienną c. 

${\Delta }_c=40^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-112\right)=1600-12\cdot 112=1600-1344=256$

$\sqrt{{\Delta }_c}=16$

$c_1=\frac{-40-16}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-56}{-6}=\frac{28}{3}$

$c_2=\frac{-40+16}{-6}=\frac{-24}{-6}=4$

Szkicujemy parabolę będącą wykresem trójmianu kwadratowego, który jest po lewej stronie nierówności. 

Rysunek:

Odczytujemy z rysunku zbiór rozwiązań nierówności:

$c\in \left[4;\frac{28}{3}\right]$

Z warunków zadania wynika, że c ⩾4.  Oznacza, to, że ostatecznie otrzymujemy, że

$\underline{\underline{c\in \left[4;\frac{28}{3}\right]}}$

co należało wykazać.