Wiemy, że do okręgu należy punkt A=(2,1). Wiadomo również, że okrąg jest styczny do osi Ox w punkcie B=(-1,0). 

---

Oznaczmy współrzędne środka okręgu jako

$S=\left(x_S,y_S\right)$  

Skoro okrąg jest styczny do osi Ox, to styczna do okręgu ma równanie y=0, czyli jest prostą poziomą. Promień SB poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, czyli do prostej y=0. Prostą prostopadłą do prostej poziomej jest prosta pionowa, czyli prosta o równaniu

$x=b$

Wiemy, że punkt B=(-1,0) należy do tej prostej, zatem prosta SB ma równanie

$x=-1$   

To oznacza, że pierwsza współrzędna środka okręgu jest równa

$x_S=-1$  

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Z rysunku wynika, że punkt S ma dodatnią drugą współrzędną, równą r. Druga współrzędna punktu S nie może być ujemna, ponieważ wtedy odległość punktu S od punktu A byłaby większa od promienia okręgu.

Stąd współrzędne punktu S można zapisać jako

$S=\left(-1,r\right)$  

Zatem równanie okręgu sprowadza się do postaci:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-r\right)}^2=r^2$  

Wstawiamy do powyższego równania współrzędne punktu A=(2,5), który należy do okręgu i obliczamy r.

${\left(2+1\right)}^2+{\left(1-r\right)}^2=r^2$   

$9+1-2r+r^2=r^2$  

$10=r^2-r^2+2r$  

Stąd

$2r=10\mid :2$  

$r=5$  

To oznacza, że środek okręgu ma współrzędne

$S=\left(-1,5\right)$  

Zatem okrąg ma równanie 

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=5^2$  

Czyli

$\underline{\underline{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25}}$  

---

Wyznaczamy te wartości parametru a, dla których prosta

$k:x-ay+4=0$  

nie ma punktów wspólnych z okręgiem.

Przypomnijmy, że prosta nie ma wspólnych punktów z okręgiem wtedy i tylko wtedy, gdy odległość tej prostej od środka okręgu jest większa od promienia tego okręgu.

Ze wzoru na odległość punktu od prostej zapisujemy odległość prostej k od środka okręgu S=(-1,5). 

$d=\frac{\left|1\cdot \left(-1\right)-a\cdot 5+4\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-a\right)}^2}}=\frac{\left|-1-5a+4\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\left|3-5a\right|}{\sqrt{1+a^2}}$  

Promień okręgu jest równy 5.  To oznacza, że odległość d spełnia warunek

$d>5$   

$\frac{\left|3-5a\right|}{{\sqrt{1+a}}^2}>5$  

$\left|3-5a\right|>5\sqrt{1+a^2}$  

Zauważmy, że obie strony nierówności są dodatnie, zatem możemy podnieść tę nierówność obustronnie do kwadratu.

${\left|3-5a\right|}^2>{\left(5\sqrt{a^2+1}\right)}^2$  

${\left(3-5a\right)}^2>25\left(a^2+1\right)$  

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy otrzymujemy:

$3^2-2\cdot 3\cdot 5a+{\left(5a\right)}^2>25a^2+25$  

$9-30a+25a^2-25a^2-25>0$  

$-30a-16>0$  

$-30a>16\mid :\left(-30\right)$  

Stąd

$a<\frac{16}{-30}$  

Czyli

$a<-\frac{8}{15}$  

Stąd dana prosta nie ma z okręgiem punktów wspólnych, gdy

$\underline{\underline{a\in \left(-\infty ;-\frac{8}{15}\right)}}$  

---

Uwaga!!! Odpowiedź podana z tyłu książki jest częściowo błędna,