Rozważamy trójkąt równoramienny ABC, w którym AB jest podstawą. To oznacza, że

$\left|AC\right|=\left|BC\right|$   

Z treści zadania wiemy, że C=(-2,1). 

Symetralna boku AC ma równanie y=2x-5.

Jedna z wysokości trójkąta zawarta jest w prostej y=x+3. 

---

Sprawdzamy, z którego wierzchołka została poprowadzona wysokość zawarta w równaniu y=x+3. 

Sprawdzamy, czy punkt C należy do prostej y=x+3. Wstawiamy w miejsce x w równaniu prostej pierwszą współrzędną punktu C. 

$y=x+3=-2+3=1$  

To oznacza, że punkt C należy do prostej, czyli wysokość poprowadzona z wierzchołka C na podstawę AB zawiera się w prostej y=x+3.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

---

1. Wyznaczamy równanie prostej AC. 

Niech prosta AC ma równanie

$y=ax+b$  

Prosta AC jest prostopadła do symetralnej boku AC, czyli do prostej y=2x-5. Z warunku prostopadłości prostych mamy, że współczynnik prostej AC jest liczbą odwrotną i przeciwną do liczby 2. Stąd

$a=-\frac{1}{2}$   

Zatem równanie prostej sprowadza się do

$y=-\frac{1}{2}x+b$  

Wiemy, że do prostej AC należy punkt C=(-2, 1). Wstawiamy współrzędne punktu C do równania prostej i obliczamy b.

$1=-\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+b$  

$1=1+b\mid -1$  

Stąd

$b=0$  

Zatem prosta AC ma równanie

$y=-\frac{1}{2}x$  

---

2. Obliczamy współrzędne punktu S, czyli środka boku AC. 

Wiemy, że symetralna przechodzi przez środek odcinka. S jest punktem przecięcia symetralnej boku AC i prostej AC. Rozwiązujemy układ równań złożony z równań tych prostych:

$\{\begin{array}{l}y=2x-5\\ y=-\frac{1}{2}x\end{array}$  

Układ równań rozwiązujemy np. metodą podstawiania.

$2x-5=-\frac{1}{2}x\mid \cdot 2$  

$4x-10=-x$  

$4x+x=10$  

$5x=10\mid :5$  

$x=2$  

Otrzymany x wstawiamy np. do pierwszego równania układu i obliczamy y. 

$y=2\cdot 2-5=4-5=-1$

Zatem punkt S ma współrzędne

$S=\left(2,-1\right)$  

---

3. Obliczamy współrzędne punktu A. 

Oznaczmy

$A=\left(x_A,y_A\right)$  

Punkt S jest środkiem odcinka AC. Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka i mamy:

$\{\begin{array}{l}{x}_S=\frac{x_A+x_C}{2}\\ y_S=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2=\frac{x_A-2}{2}\mid \cdot 2\\ -1=\frac{y_A+1}{2}\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4=x_A-2\mid +2\\ -2=y_A+1\mid -1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}6=x_A\\ -3=y_A\end{array}$  

Stąd punkt A ma współrzędne

$\underline{\underline{A=\left(6,-3\right)}}$   

---

4. Wyznaczamy równanie prostej AB. 

Niech prosta AB ma równanie

$y=ax+b$  

Prosta AB jest prostopadła do prostej zawierającej wysokość poprowadzoną na bok AB, czyli do prostej y=x+3. Z warunku prostopadłości prostych mamy, że współczynnik prostej AB jest liczbą odwrotną i przeciwną do liczby 1. Stąd

$a=-1$   

Zatem równanie prostej sprowadza się do

$y=-x+b$  

Wiemy, że do prostej AB należy punkt A=(6, -3). Wstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej i obliczamy b.

$-3=-1\cdot 6+b$  

$-3=-6+b\mid +6$  

Stąd

$3=b$  

$b=3$  

Zatem prosta AB ma równanie

$y=-x+3$  

---

5. Obliczamy współrzędne punktu P, czyli środka boku AB. 

Wiemy, że wysokość trójkąta równoramiennego poprowadzona na podstawę przechodzi przez jej środek. P jest punktem przecięcia prostej zawierającej wysokość i prostej AB.  Rozwiązujemy układ równań złożony z równań tych prostych:

$\{\begin{array}{l}y=x+3\\ y=-x+3\end{array}$  

Układ równań rozwiązujemy np. metodą podstawiania.

$x+3=-x+3$  

$x+x=3-3$  

$2x=0\mid :2$  

$x=0$  

Otrzymany x wstawiamy np. do pierwszego równania układu i obliczamy y. 

$y=-0+3=3$

Zatem

punkt P ma współrzędne

$P=\left(0,3\right)$  

---

6. Obliczamy współrzędne punktu B. 

Oznaczmy

$B=\left(x_B,y_B\right)$  

Punkt P jest środkiem odcinka AB. Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka i mamy:

$\{\begin{array}{l}{x}_P=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_P=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=\frac{6+x_B}{2}\mid \cdot 2\\ 3=\frac{-3+y_B}{2}\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=6+x_B\mid -6\\ 6=-3+y_B\mid +3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-6=x_B\\ 9=y_B\end{array}$  

Stąd punkt B ma współrzędne

$\underline{\underline{B=\left(-6,9\right)}}$   

---

Odp.: Pozostałe wierzchołki trójkąta mają współrzędne A=(6,-3) oraz B=(-6,9).