Wykaż, że dla dowolnych liczb a, b...- Zadanie 3.2: Nowa Teraz matura. Arkusze maturalne. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wiemy z nierówności pomiędzy średnią geometryczna a średnią harmoniczną, że dla $a, b > 0$ :

$ab \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Zatem dla $a, b > 0$ :

$ab \geq \frac{2}{\frac{b + a}{ab}}$

$ab \geq \frac{2 ab}{b + a}$

Mamy wykazać, że dla $a, b \in (0, 1)$ prawdziwa jest nierówność

$lo g_{a} (\frac{2 ab}{a + b}) + lo g_{b} (\frac{2 ab}{a + b}) \geq 2$

Wykonamy pomocniczy rysunek wykresu funkcji $y = lo g_{a} b$ dla $a \in (0, 1)$ . Jeśli $b \in (0, 1)$ ,to wtedy uwzględniamy tylko tej fragment wykresu funkcji, który znajduje się w zaznaczonym na pomarańczowo obszarze:

Analogicznie wyglądałby wykres funkcji $y = lo g_{b} a$ .

Skoro $a \in (0, 1)$ , to korzystając z nierówności pomiędzy średnią geometryczna a średnią harmoniczną możemy zapisać:

$lo g_{a} (\frac{2 ab}{a + b}) \geq lo g_{a} ab$

Analogicznie dla $b \in (0, 1)$ mamy

$lo g_{b} (\frac{2 ab}{a + b}) \geq lo g_{b} ab$

Zatem możemy zapisać, że

$lo g_{a} (\frac{2 ab}{a + b}) + lo g_{b} (\frac{2 ab}{a + b}) \geq lo g_{a} ab + lo g_{b} ab$

Zauważmy, że korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy

$lo g_{b} ab = \frac{lo g _{a} ab}{lo g _{a} b}$

Dodatkowo

$lo g_{a} ab = lo g_{a} (ab)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} lo g_{a} (ab) = \frac{1}{2} (lo g_{a} a + lo g_{a} b) = \frac{1}{2} (1 + lo g_{a} b)$

Więc

$lo g_{a} (\frac{2 ab}{a + b}) + lo g_{b} (\frac{2 ab}{a + b}) \geq lo g_{a} ab + lo g_{b} ab = lo g_{a} ab + \frac{lo g _{a} ab}{lo g _{a} b} =$

$= \frac{1}{2} (1 + lo g_{a} b) + \frac{\frac{1}{2} ( 1 + lo g _{a} b )}{lo g _{a} b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} lo g_{a} b + \frac{1}{2 lo g _{a} b} + \frac{1}{2} =$

$= 1 + \frac{1}{2} lo g_{a} b + \frac{1}{2 lo g _{a} b} = 1 + \frac{( lo g _{a} b ) ^{2}}{2 lo g _{a} b} + \frac{1}{2 lo g _{a} b} = 1 + \frac{( lo g _{a} b ) ^{2} + 1}{2 lo g _{a} b} = \dots$

Wykorzystamy teraz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

$x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2 x y$

Zatem

$(lo g_{a} b)^{2} + 1^{2} = (lo g_{a} b - 1)^{2} + 2 lo g_{a} b$

Wracając do nierówności możemy zapisać

$\dots = 1 + \frac{( lo g _{a} b - 1 ) ^{2} + 2 lo g _{a} b}{2 lo g _{a} b} = 1 + \frac{( lo g _{a} b - 1 ) ^{2}}{2 lo g _{a} b} + \frac{2 lo g _{a} b}{2 lo g _{a} b} = 2 + \frac{( lo g _{a} b - 1 ) ^{2}}{2 lo g _{a} b}$