Sinus sumy kątów Dla dowolnych kątów $\alpha$ i $\beta$ zachodzi równość: $\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

---

Rozwiążemy równanie

$\sin x+\cos x=1$

w przedziale $\left[0,2\pi \right]$.

$\sin x+\cos x=1\text{|}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pamiętamy, że $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zapiszemy teraz tak liczbę $\frac{\sqrt{2}}{2}$ w równaniu, by móc skorzystać ze wzoru na sinusa sumy kątów.

$\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin x+\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{4}+\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Niech $t=x+\frac{\pi }{4}$

Wtedy

$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zatem

$t=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee t=\pi -\frac{\pi }{4}+2k\pi$

$t=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee t=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$

dla $k\in \mathbb{Z}$

Więc

$x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$

$x=2k\pi \vee x=\frac{2\pi }{4}+2k\pi$

$x=2k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$

dla $k\in \mathbb{Z}$

Pamiętamy, że $x\in \left[0,2\pi \right]$, zatem

$x=2\pi \cdot 0=0$

$x=2\pi \cdot 1=2\pi$

$x=\frac{\pi }{2}+2\pi \cdot 0=\frac{\pi }{2}$

Odp. $x\in \left\{0,\frac{\pi }{2},2\pi \right\}$